3 Особенности решения задачи на максимум

При решении задачи на максимум целевой функции следует все элементы исходной матрицы (с_ij) умножить на "-1". Чтобы матрица не содержала отрицательных элементов надо сложить все элементы новой матрицы с достаточно большим положительным числом (например, с максимальным элементом исходной матрицы (с_ij)). Затем задачу решают по описанному ранее алгоритму на минимум.

Общая постановка задачи

Имеется n кандидатов (работников) для выполнения n работ. Известны затраты каждого i-го кандидата (i = 1n) на выполнение каждой j-ой работы (j = 1n). Обозначим эти затраты через c_ij. Они задаются квадратной матрицей.

Требуется распределить кандидатов на работы (найти назначение) так, чтобы суммарные затраты на выполнение работ были бы минимальные. При этом учитываются условия, что каждый кандидат может быть назначен только на одну работу, и каждая работа может быть выполнена только одним кандидатом

Список индивидуальных данных

Задание 1. Фирма, имеющая пять складских помещений, получила пять заказов по доставке товаров различным потребителям. Наличие товаров на складе позволяет выполнить любой один из заказов. Известны расстояния от склада до каждого потребителя (представлены в таблице). С какого склада, и какому потребителю доставить товар, чтобы общая дальность транспортировки была минимальной.

Таблица 1. Варианты заданий

№ варианта	№ потребителей	№ варианта	№ потребителей	№ варианта	№ потребителей
1	1,2,3,4,5	6	6,7,8,9,10	11	1,2,3,6,7
2	2,3,4,5,6	7	1,3,5,7,9	12	1,2,3,5,6
3	3,4,5,6,7	8	2,4,6,8,10	13	2,5,6,7,8
4	4,5,6,7,8	9	3,5,7,9,10	14	2,4,5,6,9
5	5,6,7,8,9	10	4,6,8,9,10	15	3,5,7,8,9

Таблица 2. Расстояния от складских помещений до потребителей, км.

№ склада	П о т р е б и т е л и
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	14	13	12	16	10	17	3	12	2	14
2	10	3	12	9	7	5	16	14	6	12
3	10	7	9	3	15	18	7	7	8	10
4	9	4	6	8	6	5	5	10	17	13
5	3	11	10	11	8	17	7	15	8	5

Задание 2. Используя данные задания 1, учесть при решении задачи невозможность доставки товара от склада до потребителя (информация дана в таблице по вариантам)

Таблица 3. Варианты заданий

№ варианта	№ склада	№ потребителя	№ варианта	№ склада	№ потребителя	№ варианта	№ склада	№ потребителя
1	1	1	6	2	6	11	4	2
2	1	2	7	3	7	12	4	5
3	1	3	8	3	8	13	5	8
4	2	4	9	3	9	14	5	4
5	2	5	10	4	10	15	5	7

Задание 3. Предприятие имеет пять технологических линий, каждая из которых способна выполнить пять различных операций по переработке продукции. Известна производительность каждой линии при выполнении каждой операции.

Определить, какую операцию, и на какой линии следует выполнять, чтобы суммарная производительность была максимальной при условии, что за каждой линией может быть закреплена только одна операция.

Таблица 4. Варианты заданий

№ варианта	№ потребителей	№ варианта	№ потребителей	№ варианта	№ потребителей
1	1,3,5,6,8	6	1,2,4,5,9	11	3,5,7,9,10
2	2,3,4,6,7	7	1,2,3,5,7	12	2,4,6,8,10
3	2,3,4,5,6	8	4,5,6,7,8	13	1,5,7,9,10
4	3,4,5,6,7	9	5,7,8,9,10	14	1,4,6,8,9
5	5,6,7,8,9	10	6,7,8,9,10	15	5,6,7,9,10

Таблица 5. Производительность технологических линий, усл.ед.

Вид технологической линии	Номер операции
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
А	5	3	4	6	7	3	4	2	2	1
Б	6	2	6	4	5	4	5	3	1	3
С	4	3	5	6	6	4	3	2	6	7
Д	3	4	3	4	3	3	1	2	2	5
Е	5	6	3	2	5	9	7	8	10	6

Задание 4. Фирма может рекламировать свою продукцию с использованием пяти видов рекламоносителей. Исследования показали, что виды рекламной деятельности приносят различную прибыль и требуют определенные денежные средства для вложений по периодам времени. Доступная наличность предприятия не позволяет использовать все виды рекламной деятельности. Определить, в какие виды рекламной деятельности и сколько предприятию вкладывать средств, чтобы получить максимум прибыли от рекламы.

Таблица 6. Доступная наличность предприятия, потребность рекламной деятельности в денежных средствах и прибыль по ней (ден.ед.)^*

Вид рекламной деятельности	При быль	Требуемые вложения по периодам
		1	2	3	4	5	6	7	8
1. Выставки	29	15	20	21	23	10	8	11	13
2 Прямые почтовые рассылки.	20	9	8	5	7	6	9	10	11
3. Реклама на транспорте	22	13	17	16	24	25	18	19	20
4. Телевидение	32	12	11	7	10	9	8	15	19
5. Интернет	30	10	10	7	8	13	5	8	12
Выделенный объем денежных средств		50	45	60	65	60	40	65	70

* все данные условные

Таблица 7. Варианты заданий.

№ варианта	Периоды вложений средств	№ варианта	Периоды вложений средств	№ варианта	Периоды вложений средств
1	1,2,3,4	6	2,3,4,5	11	3,5,6,7
2	1,3,4,5	7	2,3,5,6	12	3,6,7,8
3	1,4,5,7	8	2,3,6,7	13	4,6,7,8
4	1,5,6,7	9	2,3,7,8	14	4,5,7,8
5	1,6,7,8	10	3,4,5,6	15	5,6,7,8

Пример выполнения работы

Задача 1. Четыре человека должны выполнить четыре работы, причем каждый из работников может выполнить любую из этих работ, затрачивая при этом разное время, которое задается матрицей.

( С_ij ) =

Распределить людей на работы так, чтобы выполнить их с минимальным временем.

Последовательность решения.

1. Находим минимальные элементы в строках и вычитаем их из каждого элемента соответствующей строки.

Минимальный элемент первой строки равен двум. min{2,10,9,7}=2.

Минимальный элемент второй строки равен пяти. min{10,5,11,8}=5.

Минимальный элемент третьей строки равен 10. min{12,14,16,10}=10.

Минимальный элемент четвертой строки равен пяти. min{5,13,14,16}=5.

Вычитая найденные минимальные элементы из элементов соответствующих строк, получаем следующую матрицу:

2 . Находим минимальные элементы в столбцах и вычитаем их из каждого элемента соответствующего столбца.

Так как минимальные элементы в первом, втором и четвертом столбцах равны нулю, то эти столбцы остаются без изменения. Минимальный элемент третьего столбца: min{7,6,6,9}=6. В результате преобразований получаем матрицу:

3. Проверяем, можно ли найти оптимальное назначение. Полное назначение не получено, так как первый и четвертый работник может выполнить только первую работу, что противоречит условию, что работа выполняется только одним работником.

4. Вычеркиваем первый столбец и строки 2,3.

5. Определяем минимальный элемент из невычеркнутых: min{8,1,5,8,3,11}=1

6. Вычитаем "1" из каждого невычеркнутого элемента матрицы (8-1=7; 1-1=0; 5-1=4; 8-1=7; 3-1=2; 11-1=10) и прибавляем к каждому элементу, стоящему на пересечении прямых (5+1=6; 2+1=3). Получаем матрицу (d_ij):

Проверяем на оптимальность. В последней матрице мы можем определить оптимальное назначение.

7. Запись оптимального решения.

Х₁₃=1; Х₂₂=1; Х₃₄=1; Х₄₁=1. Остальные переменные равны нулю.

Таким образом, первый работник направляется на выполнение третьей работы, второй – второй работы, третий – четвертой работы, четвертый – первой работы. Минимальное время, которое будет затрачено на выполнение всех работ (работы выполняются последовательно) равно:

min Z = 9 + 5 + 10 +5 = 29, где 9 = с₁₃, 5 = с₂₂, 10 = с₃₄, 5 = с₄₁.

Задача 2. На предприятии пять станков различных видов, каждый из которых может выполнять пять различных операций по обработке деталей. Производительность каждого станка при выполнении каждой операции задана матрицей:

(С_ij) =

Определить, какую операцию, и за каким станком следует закрепить, чтобы суммарная производительность была максимальной.

Последовательность решения.

Умножаем каждый элемент матрицы на "-1".

Сложим элементы последней матрицы, например, с числом 7 (максимальный элемент исходной матрицы). Получаем:

Далее идем по алгоритму на минимум.

1.

2.

3. Оптимальное назначение не получено, т.к. пятую операцию следует выполнять и на первом, и на втором станках.

4. Вычеркиваем строки 3,4,5 и столбец 5.

5. Находим минимальный элемент из невычеркнутых. Он равен единице.

6. Вычитаем "1" из каждого невычеркнутого и прибавляем к элементам, стоящим на пересечении прямых.

7. Записываем оптимальное решение.

1 вариант решения.

На первом станке следует выполнять первую операцию (Х₁₁ =1);

на втором – пятую (Х₂₅ =1);

на третьем – четвертую (Х₃₄ =1);

на четвертом – третью (Х₄₃ =1);

на пятом – вторую (Х₅₂ =1).

Суммарная производительность равна: max Z = 6 + 6 + 6 + 4 + 5 =27 (дет.)

2 вариант решения.

На первом станке следует выполнять пятую операцию (Х₁₅ =1);

на втором – первую (Х₂₁ =1);

на третьем – четвертую (Х₃₄ =1);

на четвертом – третью (Х₄₃ =1);

на пятом – вторую (Х₅₂ =1).

Суммарная производительность равна: max Z = 7 + 5 + 6 + 4 + 5 =27 (дет.)

Таким образом, задача имеет альтернативный оптимум.

Задача 3. Предприятию были представлены пять проектов совершенствования производства. Доступная наличность не позволяет предприятию финансировать все проекты в полном объеме. Выделенный объем денежных средств для инвестиций, потребности проектов и прибыль по ним приведены в таблице.

Таблица 8. Проекты совершенствования производства

Проект	Прибыль (ден.ед.)	Требуемые вложения (ден.ед.)
		1 период	2 период	3 период	4 период
А	45	12	10	8	10
B	56	17	9	16	11
C	42	10	9	7	11
D	40	7	7	20	6
E	55	17	8	15	10
Ресурс предприятия, ден. ед.		54	38	68	47

При выборе следует учитывать, что оставшиеся денежные средства в каком-либо периоде не могут быть перенесены на следующие периоды.

Требуется определить, какие проекты следует финансировать и какое количество выделенных средств будет израсходовано, чтобы получить максимум прибыли.

Решение.

Через Х_j обозначим долю вложений в j-й проект, где j = 1 5. Причем Х_j = 0, если проект не финансируется; Х_j = 1, если проект финансируется.

Запишем ограничения задачи по использованию денежных средств в соответствующих периодах вложений.

Ограничение по использованию денежных средств в первом периоде:

12х₁+17х₂+10х₃+7х₄+17х₅  54

Если принять все проекты для финансирования, то в первом периоде потребуется 63 ед. денежных средств, а наличность составляет 54 ден.ед.

В последующих периодах ограничения по использованию денежных средств имеют вид:

10х₁+9х₂+9х₃+7х₄+8х₅  38

8х₁+16х₂+7х₃+20х₄+15х₅  68

10х₁+11х₂+11х₃+6х₄+10х₅  47

Целевая функция (максимум прибыли):

Z = 45х₁+56х₂+42х₃+40х₄+55х₅  max

В силу особенностей записанных ограничений задачу можно решить на компьютере с помощью приложения MS Excel "Поиск решения". Подготовка данных задачи для решения отражена в рисунках. Для того, чтобы значения переменных в результате решения равнялись 0 или 1, необходимо в диалоговом окне приложения "Поиск решения" на переменные наложить условие "Двоичное".

Рис.1 Исходная матрица

Рис.2 Задание параметров модели.

В результате решения получаем Х₁= Х₂= Х₄= Х₅= 1 Х₃= 0, то есть необходимо финансировать 1,2,4 и 5 проекты. При этом потребуются денежные средства в объеме 183 ден.ед. в течение четырех временных периодов (при возможном выделенном объеме 207 ден.ед.). Сумма прибыли, которую предприятие может получить от проектов, составит 196 ден. ед.

Контрольные вопросы

1. Что представляет собой задача о назначениях?

2. Какие условия учитываются в задаче?

3. Какие значения могут принимать переменные?

4. Какими методами можно решить задачу о назначении?

5. Как формулируется алгоритм венгерского метода решения задачи?

6. Какой признак оптимальности полученного решения?

7. Как определяется значение целевой функции?

8. В чем особенность решения задачи на максимум целевой функции?

9. Как отразить при решении условие, что ресурс не может быть назначен на данный объект?

10. Приведите примеры применения задач выбора в решениях экономических проблем. Как можно решить такого типа задачи на компьютере?