Лабораторная работа № 21 «Транспортная задача с учетом производственных затрат»

Теоретическая часть

Существуют задачи, в которых надо учесть затраты не только на транспортировку продукции, но и на производство этой продукции.

Пусть имеется i пунктов производства продукции, из которых произведенную продукцию надо доставить в j пункты потребления. Тогда обобщенные затраты от i-го производителя к j-ому потребителю равны сумме затрат на производство продукции в i-ом пункте и затрат на транспортировку продукции из i-го пункта в j-й. Найти такой оптимальный план распределения продукции из i-ых пунктов производства в j-ые пункты потребления, чтобы общие затраты были минимальные.

В этом случае коэффициентами целевой функции транспортной задачи такого типа являются затраты, равные сумме затрат на производство единицы продукции в i-ом пункте и затрат на транспортировку единицы продукции из i-го пункта в j-ый. т.е.

c_ij= p_i+t_ij,

где c_ij - обобщенные затраты на производство и транспортировку единицы продукции;

p_i - затраты на производство единицы продукции в i-ом пункте;

t_ij - затраты на транспортировку единицы продукции из i-го пункта в j-й.

В такой постановке задача решается по алгоритму транспортной задачи, взяв в качестве коэффициентов транспортных затрат с_ij.

Пример выполнения работы

Задача. В городах А, Б, В ежегодно производится соответственно 3, 7, 8 тыс.т продукции. Продукция потребляется в пунктах I, II, III в количестве соответственно 6, 6, 6 тыс.т. Затраты на производство и транспортировку продукции приведены в таблице.

Таблица 2. Затраты на производство и транспортировку единицы продукции, руб.(данные условные).

Города	Затраты на производство единицы продукции, ден. ед.	Пункты потребления
		I	II	III
А	2	1	2	3
Б	3	1	1	2
В	1	2	2	1

Найти оптимальный план распределения продукции из городов А, Б, В в пункты потребления, обеспечивающий минимум общих затрат на производство продукции и ее транспортировку.

Транспортная задача является закрытой, так как сумма ресурсов равна сумме потребностей (3+7+8=6+6+6).

Найдем обобщенные затраты по формуле: c_ij= p_i+t_ij.

Таблица 3. Обобщенные затраты на производство и транспортировку единицы продукции, руб.

Города	Пункты потребления
	I	II	III
А	2+1=3	2+2=4	2+3=5
Б	3+1=4	3+1=4	3+2=5
В	1+2=3	1+2=3	1+1=2

Распределительная таблица имеет следующий вид:

Потребности Ресурсы		Пункты потребления
		I	II	III
		6	6	6
А	3	1	2	3
Б	7	1	1	2
В	8	2	2	1

Найдем исходное опорное решение методом "наименьшего элемента в таблице".

Потребности Ресурсы		I	II	III		ui
		6	6	6
А	3	3 3	4	5	0
Б	7	4 + 1	4 - 6	5	1
В	8	3 - 2	3 +	2 6	0
vj		3	3	2

₁₂=3+0-4=-1 ₂₃=2+1-5=-2

₁₃=2+0-5=-3 ₃₂=3+0-3=0

Так как все оценки неположительные, то получено оптимальное решение.

min Z= 3*3+4*1+4*6+3*2+2*6 = 55 (тыс.руб.).

Так как ∆₃₂=0, то есть альтернативное решение. Найдем его.

Для клетки (3,2) строим цикл и выбираем минимальный груз у вершин со знаком "-".

 = min {2, 6} = 2

Минимальный груз, равный двум, находится в клетке (3,1). Выполняем преобразования однократного замещения.

Потребности Ресурсы		I	II	III
		6	6	6
А	3	3 3	4	5
Б	7	4 3	4 4	5
В	8	3	3 2	2 6

min Z= 3*3+4*3+4*4+3*2+2*6=55 (тыс.руб.)

Оптимальный план грузоперевозок.

Производители		Потребитель I	Потребитель II	Потребитель III
1 вариант	А	3	-	-
	Б	1	6	-
	В	2	-	6
2 вариант	А	3	-	-
	Б	3	4	-
	В	-	2	6

Общая постановка задачи

Имеются пункты производства продукции, из которых затем произведенную продукцию распределяют между пунктами потребления так, чтобы общие затраты на производство и транспортировку были минимальные. Известны объемы производства в каждом пункте, потребности в продукции и затраты на производство и транспортировку единицы продукции. Найти оптимальный план грузоперевозок.

Список индивидуальных данных

Номер варианта	Производители	Потребители	Номер варианта	Производители	Потребители
1	А, Б, В	а, б, в, г	13	А, Б, В	б, д, ж
2	Б, В, Г	а, б, в	14	В, Г, Д, Е	б, д, ж
3	Б, В, Д	б, в, г	15	В, Г, Д, Е	в, г, ж
4	В, Г, Д, Е	а, б, в, г	16	А, Б, Д	а, б, ж
5	А, В, Г, Д	а, б, в	17	А, Г, Е	б, в, г, д
6	А, Б, Г	а, б, в, д	18	Б, В, Г, Е	б, в, г, ж
7	Г, Д, Е	б, в, г	19	А, Б, В	а, г, д, е
8	Б, В, Д	а, в, г, д	20	А, Б, В	а, г, д, е
9	Г, Д, Е	а, в, г, д	21	В, Г, Е	а, д, ж
10	Б, В, Г, Д	а, б, в, д	22	А, Г, Д, Е	а, б, д, ж
11	В, Г, Д, Е	б, г, е	23	Б, В, Г	а, д, е
12	А, Б, В	б, г, е	24	В, Д, Е	б, г, д, ж

Таблица 1. Исходные данные по вариантам

Производители	Затраты на производство единицы продукции	Объемы производства	Потребители
			а	б	в	г	д	е	ж
			Потребности
			50	100	70	80	50	120	150
А	2	100	4	3	5	6	2	1	8
Б	3	150	2	1	8	3	7	6	4
В	1	50	7	3	9	10	8	4	7
Г	5	20	3	4	1	5	10	9	6
Д	1	50	6	7	2	3	4	8	5
Е	3	180	5	9	4	6	7	2	3

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте постановку транспортной задачи с совместным учетом затрат на производство и транспортировку продукции.

2. Что является коэффициентами целевой функции транспортной задачи в рассматриваемой постановке?

3. Назовите методы получения исходного опорного решения. Раскройте их содержание.

4. Как проверить найденное опорное решение транспортной задачи на оптимальность?

5. Раскройте метод потенциалов, используемый для нахождения оптимального плана перевозок.

6. Как осуществляется выбор переменной, выводимой из списка базисных переменных?

7. Какой признак альтернативного решения?

8. Как найти альтернативное решение задачи?