2. Лінійна залежність і лінійна незалежність векторів. Розклад вектора по базису.

Розглянемо систему векторів

Означення 4. Вектор _{називається лінійною комбінацією векторів , якщо існують такі числа , що}

₍₁₎

Означення 5. Вектори _{називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа , серед яких не всі дорівнюють нулю (тобто ), що справджується рівність}

₍₂₎

Означення 6. Система векторів _{називається лінійно незалежною, якщо рівність}

₍₃₎

_{можлива лише при .}

_{Теорема 1. Для того, щоб система векторів була лінійно залежна необхідно і достатньо, щоб один з її векторів був лінійною комбінацією інших, тобто лінійно виражався через інші вектори системи.}

_{Геометричний зміст лінійної залежності векторів в R}³_{, що інтерпретуються як напрямлені відрізки, пояснюють слідуючи теореми.}

_{Теорема 2. Система, яка складається із одного вектора, лінійно залежна тоді і тільки тоді, якщо цей вектор нульовий.}

_{Теорема 3. Для того, щоб два вектори були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб вони були колінеарні.}

_{Теорема 4. Для того, щоб три вектори були лінійно залежними, необхідно і достатньо, щоб вони були компланарними.}

Означення 7. Впорядкована пара неколінеарних векторів називається базою, або базисом на площині.

Таке ж означення і в базисі R³:

Має місце теорема:

_{Теорема 5. Кожен вектор на площині єдиним способом розкладається на пару неколінеарних векторів}

(4)

_{Співвідношення (4) називають розкладом вектора в базисі} . Числа _{називають координатами вектора вектора в базисі} і записують

_{Трійка некомпланарних векторів} називається правою, якщо спостерігач, який знаходиться в початку кінців _{векторів} у вказаному порядку рухається за часовою стрілкою. В противному випадку – ліва трійка. Всі праві

_{Базисом у просторі (або ліві) трійки векторів називаються однаково орієнтованими.}

_{Теорема 6. Якщо в просторі задано базис то будь-яку впорядковану трійку некомпланарних векторів} ,, _{можна однозначно подати як лінійну комбінацію базисних векторів, тобто у вигляді:}

₍₅₎

_{Рівність(5) називається розкладом вектора в базисі} . Числа називаються координатами вектора _{в базисі} , і записують це:

_{Приклад 2. Чи можуть вектори , , утворювати базис? Якщо так то знайти розклад по даному базису?}

_{Розв’язання:}

_{Нехай дано вектор . Перевіримо, чи утворюють вектори , , базис. Нехай лінійна комбінація цих векторів дорівнює нулю тобто отримаємо:}

,

Через координати ця рівність має вигляд:

, або

Для знаходження _{отримаємо систему рівнянь}

_{Визначник системи . Значить, дана однорідна система має тільки нульові розв’язки . Отже, вектори , , -лінійно незалежні, а тому утворюють базис.}

_{Відповідь: .}

_{Якщо вектори} попарно перпендикулярні і довжина кожного із них дорівнює одиниці то базис називається ортонормованим, а координати х₁, х₂, х₃ – прямокутними. Базисні вектори ортонормованого базису будемо позначати .