Цилиндрические поверхности
Через каждую точку линии L проведем
прямые
прямой
P. В результате получим поверхность –
цилиндрическая; при этом линию L называют
направляющей этой цилиндрической
поверхности, а прямые
–
образующими этой поверхности.
Выведем уравнение цилиндрической поверхности; для этого введем пространственную прямоугольную систему координат.
При этом выберем ось Oz параллельно образующим цилиндрической поверхности, а направляющую расположим в плоскости XOY.
Всякая точка будет лежать на поверхности
когда ее проекция
будет лежать на L т. М(х,у,z)
принадлежит цилиндрической поверхности
ее проекция точка
N(х,у)
L
Значит, точка N удовлетворяет уравнению (х,у) = 0.
(х,у) = 0.– уравнение данной цилиндрической поверхности.
Если цилиндрическая поверхность имеет образующие, параллельные оси Oz и направляющую с уравнением (х,у) = 0., то это уравнение является уравнением данной цилиндрической поверхности.
А
налогично,
если цилиндрическая поверхность имеет
образующую
оси
Ox, то ее уравнение имеет вид
(у,z)
= 0.. Если образующая
оси
Oy, то уравнение имеет вид
(х,z)
= 0.
Пример:
1)
-
x
y
0
1
1
0
2)
Поверхности 2-го порядка
Пример 1. Даны вершины треугольника АВС: А(–4;2), В(1; –3), С(5;7).
Составить уравнения: 1) стороны АВ, 2) медианы, проведенной из вершины С,
3) высоты, проведенной из вершины С.
Решение. 1) Уравнение стороны АВ находим из уравнения прямой, проходящей через две данные точки (4.8): .
Получим:
,
,
.
Раскроем скобки
и приведем к виду общего уравнения
прямой:
,
,
– это и
есть уравнение стороны АВ.
2) Найдем уравнение медианы СМ, где М – середина стороны АВ.
Из школьного курса математики известно, что координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов, т.е.
.
Поэтому
,
т.е.
или
.
Уравнение медианы СМ находим из уравнения прямой, проходящей через две точки С и М: .
,
,
.
Раскроем скобки
и приведем к виду общего уравнения
прямой:
,
,
,
– это и есть уравнение медианы СМ.
3) Найдем уравнение высоты СК, где К – основание перпендикуляра, опущенного на сторону АВ. Используем уравнение прямой:
(4.1).
Найдем координаты
вектора
:
.
Вектор
перпендикулярен высоте
СК.
Тогда
,
,
– это и есть уравнение высоты СК.
Пример 2.
Даны
уравнения сторон треугольника
,
,
.
Составить уравнение высоты, медианы,
биссектрисы, проведенных из вершины В
и найти их длины.
Решение. 1. Найдем координаты вершин треугольника, решив соответствующие системы уравнений сторон. Так, координаты вершины В определим из системы уравнений прямых AB и BC:
,
откуда x=–8, y=0, т.е. B(–8;0).
Аналогично находим координаты вершин А и С, решив системы уравнений прямых АВ и АС, АС и ВС: А(8; 12), С(–2; –8).
2. Пучок прямых,
проходящих через точку В
(–8; 0) имеет вид:
.
Из уравнения прямой
АС
следует, что ее угловой коэффициент
.
На основании условия перпендикулярности
двух прямых
.
Уравнение высоты BD
примет вид
или
.
3. Координаты
середины отрезка находим по формулам:
.
Поэтому
,
т.е. F(3;2).
Угловой коэффициент
.
Подставляя
в формулу (4.7),
получим уравнение медианы BF:
или
.
Уравнение BF можно было получить и по формуле (4.8) как уравнение прямой, проходящей через две точки: В(–8;0) и F(3;2)).
4. Из уравнений
прямых
и
следует, что они перпендикулярны, так
как их угловые коэффициенты
и
обратны по величине и противоположны
по знаку. Поэтому биссектриса BE
образует с каждой из этих сторон угол
.
По формуле (4.9)
,
откуда
.
Теперь по формуле (4.3)
получим уравнение биссектрисы ВЕ:
или
.
Если не учитывать,
что
,
то угловой коэффициент биссектрисы
можно найти из равенства
,
т.е.
или
.
Решая уравнения
найдем два корня
и
,
из которых условию задачи удовлетворяет
первый корень).
5. Длину медианы BF найдем по формуле (3.5) расстояния между двумя точками А(–8;0) и F(3;2).
.
6. Для нахождения длинны биссектрисы BE найдем вначале координаты ее точки пересечения E со стороной AC, решив систему уравнений
,
откуда
,
т.е.
.
Теперь по формуле
(3.5)
.
7. Длину высоты BD можно было найти аналогично тому, как находили длину биссектрисы, но проще это сделать по формуле (4.10) расстояния от точки B(–8;0) до прямой .
.
Пример 3.
Составить уравнения прямой, проходящей
через точку М (5; 3; 4) и параллельной
вектору
Решение. Воспользуемся каноническими уравнениями прямой.
Полагая в равенствах
(4.16)
получаем
Пример 4.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку
и перпендикулярной вектору
.
Решение. Воспользуемся уравнением (4.10) плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору:
.▲
Пример 5. Найти
уравнение плоскости, проходящей через
точку
параллельно плоскости
.
Решение. Запишем уравнение (4.10) плоскостей, проходящих через данную точку:
.
Нормальный вектор
искомой плоскости совпадает с нормальным
вектором
данной плоскости; следовательно, A=5,
B=-3,
C=2
и уравнение искомой плоскости примет
вид
.
Пример 6. Из
точки
на координатные оси опущены перпендикуляры.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через их основания.
Решение. Основаниями
перпендикуляров, опущенных на координатные
плоскости, служат следующие точки:
,
,
.
Используя соотношение (4.14), запишем
уравнение плоскости, проходящей через
точки
,
,
:
или
.
Пример 7. Найти
уравнение плоскости, проходящей через
точки
и
перпендикулярно плоскости
.
Решение. В
качестве нормального вектора
N
искомой плоскости можно взять вектор,
перпендикулярный вектору
и нормальному вектору
данной плоскости. Поэтому за N
примем
векторное произведение
и
:
.
Остается
воспользоваться уравнением плоскости,
проходящей через данную точку (например,
А) перпендикулярно
заданному вектору
,
или
.
Пример 8. Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точку
и перпендикулярной плоскостям
и
.
Решение. Очевидно,
что в качестве нормального вектора N
искомой
плоскости можно взять векторное
произведение нормальных векторов
и
данных плоскостей:
Теперь, используя
уравнение плоскости, проходящей через
данную точку
перпендикулярно вектору
,
получаем
,
или
.
Пример 9.
Составить уравнения прямой, проходящей
через точку
и пересекающей ось Ох под прямым углом.
Решение. Так
как прямая перпендикулярна оси Ох и
пересекает ее, то она проходит через
точку N
(3; 0; 0). Составив уравнения прямой,
проходящей через точки М и N,
получаем
Пример 10.
Дана плоскость
и вне ее точка М (1; 1; 1). Найти точку N,
симметричную точке М относительно
данной плоскости.
Решение. Запишем уравнения любой прямой, проходящей через точку
Координаты
направляющего вектора прямой,
перпендикулярной плоскости, можно
заменить координатами нормально вектора
данной плоскости. Тогда уравнения прямой
запишутся в виде
Найдем проекцию точки М на данную плоскость, решив совместно уравнения
Перепишем уравнения прямой в виде
Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнения плоскости, найдем t = 1, откуда х = 2, у = 2, z = –1.
Координаты симметричной точки найдутся из формул
Пример 4.11.
Через прямую
провести плоскость, параллельную прямой
Решение. Запишем уравнения первой из заданных прямых с помощью уравнений двух плоскостей, проецирующих ее соответственно на плоскости хОу и хОz:
Уравнение пучка плоскостей, проходящих через эту прямую, имеет вид
Используя условие
параллельности прямой и плоскости,
определим
так,
чтобы соответствующая плоскость пучка
была параллельна второй из заданных
прямых.
Имеем
Таким образом,
искомая плоскость определяется уравнением
