2 Способ: уравнение плоскости в координатной форме.

Дано. Точка (П – плоскость) и два вектора и такие, что не // ( ), где направляющие векторы плоскости.

и вектора компланарны .

Откуда получаем уравнение плоскости в координатной форме:

(4.13).

Пример 4.10. Дана точка (П – плоскость) и два вектора и такие, что не // и являются направляющими векторами плоскости. Составить уравнение плоскости П.

3 Способ: уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Дано. Точки , , (П – плоскость).

Тогда уравнение плоскости, проходящей через три точки имеет вид:

(4.14).

После подстановки в (4.14) координат точек, получаем уравнение плоскости в координатной форме вида (4.13).

Пример 4.11. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки , , .

Используя правило «треугольников» для нахождения определителей 3-го порядка, получим:

.

Приведем подобные слагаемые, раскроем скобки и получим общее уравнение плоскости:

; ;

или искомое уравнение плоскости.

4.2.2. Взаимное расположение плоскостей

Пусть заданы две произвольные плоскости.

,

.

Плоскости П₁ и П₂ совпадают (т.е. оба уравнения определяют одну и ту же плоскость):

.

Плоскости П₁ и П₂ параллельны:

; т.е. | | .

Плоскости П₁ и П₂ перпендикулярны:

; т.е. .

Пример 4.12. Проверим как расположены пары плоскостей:

1) и ;

2) и .

В первом случае данные плоскости параллельны.

Во втором случае данные плоскости перпендикулярны.

4.2.3. Угол между двумя плоскостями

Если и – нормальные векторы двух плоскостей, то угол между плоскостями можно найти по формуле:

(4.15).

Пример 4.13. Найдем угол между плоскостями и .

данные плоскости перпендикулярны.

4.2.4. Способы задания прямой в пространстве

1 Способ: уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

Дано. Точка , L – прямая в пространстве. Вектор (направляющий вектор прямой), – произвольная точка прямой L.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору можно записать в виде:

(4.16)

Уравнения (4.16) – канонические уравнения прямой в пространстве (два уравнения).

Из уравнения (4.16) можно получить параметрические уравнения прямой L в пространстве:

2 Способ: уравнение прямой, заданной пересечением двух плоскостей.

Дано. Две произвольные плоскости:

,

.

Уравнение прямой, заданной пересечением двух плоскостей имеет вид:

(4.17).

Система (4.17) определяет общие уравнения прямой L в пространстве.

В качестве направляющего вектора прямой L в данном случае можно взять векторное произведение .

4.2.5. Взаимное расположение прямых в пространстве

Пусть заданы две произвольные прямые в пространстве

Условие // прямых. .

Условия прямых. .

Условия пересечения прямых (возможны 4 случая).

1) – в одной точке. В этом случае вектора – компланарны,

– условие пересечения двух прямых.

2) и не пересекаются и не // – скрещивающиеся прямые.

В этом случае .

3) и не пересекаются и // . В этом случае и .

4) – прямые совпадают. В этом случае .

Угол между прямыми в пространстве

Углом между двумя прямыми и называется угол , равный углу между векторами и . Следовательно,

(4.18).

Пример 4.14. Даны две прямые в пространстве:

Проверить их взаимное расположение.

прямые перпендикулярны.