Исследование общего уравнения прямой

Рассмотрим общее уравнение прямой (4.2), в котором коэффициенты А и В не равны одновременно нулю, т.е. А² + В² 0.

1. Пусть В 0. Тогда уравнение (4.2) можно записать в виде .

Обозначим .

Если А 0, С 0, то получим (уравнение прямой с угловым коэффициентом).

Если А О, С=0, то (уравнение прямой, проходящей через начало координат).

Если А = 0, С 0, то (уравнение прямой, параллельной оси Оу).

Если А = 0, С = 0, то у = 0 (уравнение оси Ох).

2. Пусть В = 0, А 0. Тогда уравнение (4.2) примет вид .

Обозначим

Если 0, то получим (уравнение прямой, параллельной оси Оу).

Если , то (уравнение оси Оу).

Таким образом, при любых значениях коэффициентов А, В (не равных одновременно нулю) и С уравнение (2) есть уравнение некоторой прямой линии на плоскости Оху.

4.1.2. Взаимное расположение прямых на плоскости

Пусть заданы две прямые:

а) или b) или с) .

Условия параллельности ( // ) прямых

Д ля вида (а): .

Для вида (b): .

Для вида (с): .

Условия перпендикулярности ( ) прямых

Д ля вида (а): или .

Для вида (b): .

Для вида (с): .

Пример 4.6. Составить уравнения прямой, проходящей через точку А(2; –1):

1. параллельно прямой ,

2. перпендикулярно прямой .

Точка пересечения прямых

Пусть даны две прямые и .

Очевидно, координаты их точки пересечения должны удовлетворять уравнению каждой прямой, т.е. они могут быть найдены из системы

Если прямые не параллельны, т.е. , то решение системы дает единственную точку пересечения прямых.

Пример 4.7. Найти точку пересечения прямых: и .

Решение. Составим и решим систему уравнений:

Из 2-го уравнения выражаем х и подставляем в 1-е уравнение: , . Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые , . Следовательно, . Найденное значение у подставляем в равенство для х: , . Таким образом, точка пересечения данных прямых имеет координаты: А(19; –11).

Угол между двумя прямыми на плоскости

– угол между двумя прямыми и .

, т.е. , где .

Расстояние от точки до прямой на плоскости

Дано: точка М(х₀,у₀) и прямая .

Под расстоянием от точки М до прямой L понимается длина перпендикуляра d= MN, опущенного из точки М на прямую L.

Для определения расстояния d необходимо:

1) составить уравнение прямой MN, перпендикулярной данной и проходящей через точку М(х₀, у₀);

2) найти координаты точки N( ),(N точка пересечения прямых), решив систему уравнений этих прямых;

3) определить расстояние между двумя точками, т.е. найти d = MN.

В результате выполнение перечисленных шагов, получим формулу для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости:

(4.9).

Пример 4.8. Найти расстояние между прямыми и .

4.2. Плоскость и прямая в пространстве

4.2.1. Способы задания плоскости

1 Способ: уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Д ано. Точка (П – плоскость). Вектор ( – нормальный вектор плоскости).

и .

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору имеет вид:

(4.10).

Из уравнения (4.10), если обозначить , получим общее уравнение плоскости:

(4.11).

Из (4.11)

(4.12) – уравнение плоскости в отрезках,

где a, b, c – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях Oх, Oy, Oz соответственно.

Пример 4.9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Найти отрезки, отсекаемые плоскостью на осях Oх, Oy, Oz соответственно.