56. Реализация идей мпс математики и внешней баллистики при изучении курса математики слушателями Высшей военно-технической школы.

Задача З. С поверхности Земля запущен спутник. Приняв за начало координат, центр Земли, определить полярные координаты спутника момент времени, когда расстояние от спутника до точки запуска станет равным двум радиусам Земли 2R и угол между полярной осью и направлением на спутник будет радиан.

Решение.

Возьмем полюс полярной системы координат в центре Земли, полярную ось направим, как указано на рис 3., в точку запуска спутника B.

Р ассмотрим треугольник ОМВ

M

По теореме косинусов:

Применив еще раз теорему косинусов, чтобы найти угол МОВ.

откуда Рис 3

Полярные координаты спутника, таким образом, будут

Изучая полярную систему координат, важно отметить её широкое применение в войсковой практике при целеуказании. Положение любой точки М на местности или на карте определяется следующими двумя координатами:

а) углом NOM= , который называется углом положения и измеряется от направления полярной оси до направления на точку М.

б) расстоянием ОМ=Д от полюса О до определяемой точки М. (рис. 4)

N

М

М

C

Рис. 4 Рис. 5

С

Одним из углов положения, часто используемый в практике стрельбы артиллерии, является дирекционный угол. Дирекционный угол- это угол между северным направлением вертикальной линии координатной сетки и направлением на местный предмет, отсчитываемый по ходу часовой стрелки (рис 5)

Мы видим разницу в определении полярного угла в аналитической геометрии в военном Деле в аналитической геометрии «обычно считают положительными те повороты, которые совершаются «против часовой стрелке»

Рассмотрим задачу, при решении которой мы демонстрируем слушателям связь полярной и декартовой системы координат.

58. В сосуд налита жидкость. Сосуд приведен в равно­мерное вращательное движение с угловой скоростью во­круг некоторой оси. Определить форму поверхности жид­кости.

59. Принимая форму Земли за геоид — шар, близкий к земному эллипсоиду (R = 6370 км), определить радиус 51 параллели и написать уравнение этой параллели.

60. Найти длины тропика и полярного круга, если из­вестно, что они отстоят от экватора на 23° 27' и 66° 33' соот­ветственно, и написать их уравнения.

6 1. В начале своего движения материальная точка М находится на экваторе данной шаровой поверхности в поло­жении М . Меридиан, на котором она лежит, начинает вра­щаться по часовой стрелке с угловой скоростью вокруг оси OZ, проходящей через центр сферы и перпендикулярной к плоскости экватора. Сама точка движется по меридиану к полюсу с той же угловой скоростью. Определить уравне­ние траектории точки.

62. Стальной мост имеет вид параболической арки. Пролет арки 29,9 м, высота 67 м. Составить уравнение арки, приняв за ось ОХ касательную в вершине, а за ось OY — ось симметрии параболы. Построить фокус и директрису пара­болы.

63. В данный момент известны координаты неприятельского самолета. Определить угол, под которым надо выстрелить по самолету, чтобы снаряд попал в него. Написать уравнение траектории снаряда.

64. Струя воды вытекает из конического наконечника со скоростью под углом к горизонту. Составить уравне­ние струи, если начало системы координат расположено в начале вытекающей струи, а направление оси ОХ горизон­тально.

65. Снаряд вылетел из ствола орудия со скоростью под углом к горизонту. Составить уравнение траектории снаряда и условия попадания в неприятельский пункт, если он расположен на расстоянии а от огневой точки О. Сопротив­лением воздуха пренебречь.

66. К амень брошен со скоростью под углом к горизонту (рис. I.I9). Ускорение свободного падения g. Считая, что начальное положение камня совпадает с началом координат 0, ось 0Х направлена го­ризонтально в сторону движения кам­ня, ось 0У направлена вертикально вверх, определить: 1) уравнения движения камня; 2) уравнение его траектории; 3) максимальную высоту; 4) дальность полета S; 5) угол , при котором дальность наибольшая.

Решение. За t секунд камень в горизонтальном направлении пройдет путь х = cos (так как скорость его в горизон­тальном направлении постоянна и равна cos ). В вер­тикальном направлении камень пройдет за то же время t путь, ко­торый определится, если из пройденного в вертикальном направлении пути y = sin вычесть gt - расстояние, на которое опустится камень под действием силы притяжения земли. Тогда в вертикальном направлении за время t будет пройден путь sin - gt

67. Вывести уравнение параболы, образуемой провесом линии передачи тока высокого напряжения по данным эскиза, изображенного на рис. 14, где р = 1 м —стрела провеса; f = 100м—длина пролета; h = 24м— разность высот точек подвеса провода. Найти также абсциссы x и x (наинизшей точки параболы и второй точки ее пересечения с осью ОХ). За начало координат принять левую точку провеса.

68.

Аналитическая геометрия

Требуется опреде­лить по карте, как нужно направить орудие, чтобы поразить неподвижную цель, например, стреляю­щее орудие противника.

При решении данной задачи используются понятия анали­тической геометрии, которые изучались в рамках курса математики. Однако решение этой задачи требует затраты достаточно большого коли­чества времени. Поэтому включение ее в материал практических занятий не це­лесообразно. Решение такого вида задач, как правило, выносится на факультатив­ные занятия, олимпиады, для самостоятельного решения

Параболическое зеркало рефлектора Симеизской обсерватории (в Крыму) имеет в диаметре 1,02 м и расстояние от фокуса до вершины 5 выемки, которую при­шлось сделать при изготовлении зеркала из плоского стекла.

8 3. Исходя из закона сохранения энергии движения тела под действием силового центра, определить условия движе­ния тела по эллиптической, параболической и гиперболи­ческой орбитам (рис. 15).

Твердое тело имеет неподвижную точку (центр) О и может как угодно вращаться вокруг этой точки. Показать, что для определения положения твердого тела в простран­стве нужно знать три независимых величины (параметра).

Составить уравнения мгновенной оси вращения твердого тела (геометрического места точек тела, имеющих в данный момент нулевую скорость) вокруг неподвижной точки и определить поверхности, образованные движением мгновенной винтовой оси (аксоиды), в неподвижной и подвижной системах координат.

Струя фонтана вытекает из отверстия со скоростью v под углом а к горизонту по кривой у = tg a + • Найти уравнение поверхности, образованной вращением этой струи вокруг оси OY. Построить эту поверхность.

Принятый советской геодезией земной эллипсоид (эллипсоид Красовского) имеет параметры: большая полу­ось а = 6 378 245 м, сжатие а = = -щд—■ Соста­вить уравнение земного эллипсоида.

29