§ 1.2. Примеры решения типовых задач.

1.1. В декартовой системе координат проекции векторного поля А постоянны в каждой точке пространства:

, , .

Построить картину силовых линий векторного поля.

Решение. Поскольку одна из декартовых составляющих векторного поля отсутствует, силовые линии должны представлять собой семейство плоских кривых, лежащих в плоскостях, параллельных плоскости ху. Вектор поля в каждой точке касателен к силовой линии, откуда вытекает дифференциальное уравнение силовых линий

, (1.16)

являющееся следствием подобия двух прямоугольных треугольников с катетами dх, dу и А₀, В₀соответственно. Общий интеграл уравнения (1.16) имеет вид

,

где С - произвольная постоянная.

Рис.1.1 Рис.1.2

Таким образом, силовые линии поля представляют собой однопараметрическое семейство прямых с угловым коэффициентом наклона к оси х, равным В₀ /А₀ (рис. 1.1).

1.2. Векторное поле А, удовлетворяющее во всех точках рассматриваемой области условию div А = 0, называется соленоидальным (полем без источников). При выполнении условия rot А = 0 поле А является потенциальным векторным полем. Если такое поле характеризует силу, действующую на материальную точку, то работа внешних сил при обходе замкнутого контура будет равна нулю. В декартовой системе координат векторное поле А имеет единственную составляющую .

Проверить, является ли поле: а) соленоидальным; б) потенциальным.

Решение. Картина силовых линий поля А в плоскости ху изображена на рис. 1.2. Вычисляя дивергенцию этого поля по формуле (1.2), получим, что div А = ∂А_y/∂y = 0. Следовательно, исследуемое поле соленоидально. Однако в соответствии c (1.6) rot А = 30х1_z, поэтому поле не является потенциальным.

1.3. Вычислить дивергенцию векторного произведения полей А и В. Решение. Здесь удобно воспользоваться оператором Гамильтона, записав

.

Оператор Гамильтона является дифференциальным оператором, поэтому к приведенному векторному произведению можно применит обычные правила дифференцирования произведения:

.

Нижние индексы у оператора указывают поле, на которое он воздействует. Поле, на которое оператор не воздействует, должно быть вынесено за знак оператора подобно константе. В результате получаем

.

§ 1.3. Задачи для самостоятельного решения.

1.4. Скалярное поле φ задано в декартовой системе координат выражением

Вычислить векторное поле grad φ.

Ответ: .

1.5. В декартовой системе координат векторное поле А имеет единственную составляющую А_z = 3у². Построить качественно пространственную картину распределения силовых линий поля. Вычислить векторное поле rot А.

Ответ: .

1.6. Пусть поле А предыдущей задачи характеризует векторы скоростей потока жидкости. В любую точку пространства может быть помещена миниатюрная “турбина” с прямыми лопатками (рис. 1.3); ориентация ее оси произвольна.

Рис.1.3.

Почему не будет вращаться “турбина”, помещенная в поток жидкости со скоростями, одинаковыми в каждой точке? Почему угловая скорость вращения равна нулю при и изменяет направление при переходе из области в область ? Установить связь этих результатов с математическим понятием ротора векторного поля как циркуляции по бесконечно малому контуру.

1.7. В сферической системе координат задано векторное поле . Определить скалярное поле div A. Качественно построить картину силовых линий векторного поля.

Ответ: div А = 3.

1.8. В сферической системе координат векторное поле А имеет единственную r-ю составляющую, причем . Какова должна быть функция , чтобы дивергенция поля А обращалась тождественно в нуль? Построить картину силовых линий поля.

Ответ: , где а - константа.

1.9. В декартовой системе координат скалярное поле φ имеет вид

,

где мнимая единица;

- постоянный вектор;

- радиус-вектор.

Найти выражения для grad φ и Δφ.

Ответ: , , где .

1.10. Определить дивергенцию и ротор векторного поля, имеющего в декартовой системе координат единственную составляющую .

Ответ: , .

1.11. Определить дивергенцию и ротор векторного поля А, характеризуемого следующими составляющими в цилиндрической системе координат: , , .

Ответ: , .

1.13. В декартовой системе координат некоторое скалярное поле задано трехмерным интегралом Фурье

Вычислить Δφ.

Ответ: , где .

1.14. Изобразить графически картину силовых линий векторных полей, заданных в декартовой системе координат своими проекциями:

, , .

, , .

1.15. Найти ротор и дивергенцию следующих векторных полей, заданных в декартовой системе координат:

,

.

Ответ: , , , .

1.16. Используя правила действия с оператором Гамильтона, доказать тождество

.

1.17. В пространстве заданы два векторных поля А и В. Найти выражение для поля .

Указание: Выразить операцию grad через оператор и воспользоваться правилом дифференцирования произведения.

Ответ: .

1.18. Доказать следующие тождества векторного анализа (φ и А - произвольные дифференцируемые скалярное и векторное поля):

,

,

,

,

.

1.19. Векторное поле А обладает единственной составляющей A_x, которая постоянна в пределах плоского слоя толщиной 2d:

Найти выражение ротора поля.

Ответ: , где - функция Дирака.