3.5 Течение вязкой жидкости по трубе. Закон Гагена-Пуазейля и его использование в гемодинамике.

При течении по горизонтальной трубе реальной жидкости потенциальная энергия ее частиц расходуется на работу по преодолению внутреннего трения, поэтому статическое давление вдоль трубы постепенно падает. Для того, чтобы обеспечить течение жидкости, необходимо в начале трубы создать давление, несколько превышающее падение давления вдоль всей трубы, т.е. для течения жидкости по трубе необходимо создать разность давлений (Р₁-Р₂) на концах трубы.

Гаген и Пуазейль сначала эмпирически, а затем теоретически установили, что средняя скорость _ср ламинарного течения ньютоновской жидкости по горизонтальной, круглой трубе постоянного сечения прямо пропорциональна разности давлений (P₁-P₂) на концах трубы, квадрату радиуса трубы R² и обратно пропорциональна коэффициенту вязкости  жидкости и длине трубы l (закон Гагена-Пуазейля):

_ср= (3.10)

Эта формула выражает аналитически закон Гагена-Пуазейля для средней линейной скорости жидкости.

Подставляя в уравнение (3.7) выражение (3.10) и, учитывая, что S=R², получим:

Q= = (3.11)

Уравнение (3.11) выражает закон Гагена-Пуазейля для объемной скорости течения жидкости.

Напомним, что кровь по своей природе является неньютоновской жидкостью. Однако, учитывая, ее небольшую вязкость, кровь в первом приближении относят к ньютоновским жидкостям. В связи с этим, закон Гагена-Пуазейля применим для описания движения крови. В этом случае _ср называют средней линейной скоростью кровотока, а Q – объемной скоростью кровотока.

О бъемная скорость кровотока– это есть минутный объем крови. У человека, находящегося в покое, объемная скорость кровотока Q составляет 55.5 л/мин. Это значит, что у человека в состоянии покоя, объем крови, протекающий за 1 минуту через поперечное сечение аорты, всех артерий или артериол, капилляров, венозную систему как большого так и малого круга кровообращения одинаков (рис.3.3).

При постоянной объемной скорости кровотока, средняя линейная скорость кровотока _ср не может быть постоянной. Согласно условию стационарного течения, она зависит от поперечного сечения S: чем больше S, тем меньше _ср. Учитывая суммарное поперечное сечение, самым широким местом в сосудистой системе является отдел капилляров: суммарное поперечное сечение капилляров в 500-600 раз больше поперечного сечения аорты. Поэтому кровь в капиллярах двигается в 500-600 раз медленнее, чем в аорте. С этой точки зрения, аорта является самым узким местом в сосудистой системе и, соответственно, средняя линейная скорость кровотока в аорте максимальная и составляет ~0.5 м/с (рис.3.7).

Рис. 3.4

В полых венах средняя скорость кровотока составляет (0.25-0.3) м/с, т.к. суммарное поперечное сечение вен по отношению к поперечному сечению аорты увеличивается в 2 раза, а по отношению к капиллярам – уменьшается.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Чем обусловлена вязкость жидкости (или внутреннее трение)?

2. Что характеризует градиент скорости? В каких единицах измеряется?

3. Какие жидкости относятся к ньютоновским (неньютоновские)?

4. Каковы реологические свойства крови и что на них влияет?

5. Что называется стационарным течением вязкой жидкости?

6. Что называется объемной скоростью кровотока? В каких единицах измеряется?

7. Какое течение называется ламинарным (турбулентным)?

8. От чего зависит средняя линейная скорость ламинарного течения ньютоновской жидкости по горизонтальной трубе исходя из уравнения Гагена-Пуазейля?

9. Укажите график зависимости объемной скорости кровотока вдоль сосудов большого (или малого) круга кровообращения?

10. Укажите график зависимости линейной скорости кровотока вдоль сосудов большого (или малого) круга кровообращения?