2.2 Оптимизация потоков и пропускных способностей линий связи /1/

Предположим, что топология сети уже выбрана, тогда задача оптимизации сводится к выбору пропускных способностей линий связи и распределению потоков по ним. На практике потоки информации определяются алгоритмами маршрутизации, под управлением которого работает сеть. Однако алгоритмы оптимизации рассматривают сеть как единое целое, пользуясь полной картиной распределения потоков в сети, и потому, как правило, позволяют получать значительно лучшие распределения потоков, чем это удается достичь обычным алгоритмом маршрутизации.

Для постановки задачи кроме топологии необходимо знать также зависимость между пропускной способностью линии связи и ее стоимостью. Далее мы можем рассмотреть задачу с двух сторон. Первое - это зафиксировать стоимость сети D и попытаться минимизировать среднюю задержку T, второе - ограничить T и искать сеть минимальной стоимости. Оба этих метода нередко приводят к аналогичным результатам.

При такой постановке задачи переменными является как пропускные способности линий связи, так и потоки в них, и необходимо найти такие их значения, при которых будут минимальны T и D. Это довольно сложная задача, и потому мы начнем с рассмотрения двух подзадач:

а) определения оптимальных пропускных способностей при заданных потоках;

б) определения оптимальных потоков при заданных пропускных способностях линии связи.

2.2.1 Задача выбора пропускных способностей /2/

Задача состоит в том, чтобы для каждой линии (i,j) выбрать пропускную способность C_i,j так, чтобы линейная стоимость

,(1)

была минимальной (где p_ij - известная положительная цена единицы пропуск­ной способности) при условии, что средняя задержка пакета не должна превышать фиксированное значение T.

Поток по каждой линии (i,j), обозначаемый через F_ij, выражается в тех же единицах, что и пропускная способность. Ограничение на среднюю задержку можно представить в виде

,(2)

где  - интенсивность суммарного потока, поступающего в сеть.

Предполагаем, что интенсивности входных потоков для каждой пары отправитель-адресат известны и  является их суммой. Потоки по линиям F_ij зависят от известных входных потоков и от выбранной схемы маршрутизации. Предположим, что маршрутизация и, следовательно, потоки F_ij известны. В этом случае, рассматриваемая задача сводится к минимизации линейной стоимости (1) по пропускным способностям C_ij, удовлетворяющим ограничению (2); интуитивно ясно, что в точке оптимума это ограничение превратится в равенство. Введем множитель Лагранжа  и составим функцию Лагранжа

.

В соответствии с методом множителей Лагранжа нужно приравнять нулю частные производные dL/dC_ij

.

Из этого уравнения находим C_ij

;(3)

подставив это значение в равенство-ограничение, получим

.

Отсюда находим

,

после подстановки этого выражения в равенство (3) получаем оптимальное решение

.

Это решение после преобразований можно переписать в виде

.(4)

И наконец, после подстановки (4) в (1), получаем оптимальную стоимость сети D:

.(5)