Контрольные вопросы
1. Какие исходные данные нужны для построения зависимости «затраты - эффект»?
2. Как строится зависимость «затраты - эффект»?
3. Какой анализ можно провести по графику «затраты - эффект»?
Тема №6. Применение «венгерского» метода для решения задачи о назначениях реализации проектов
Цель: получение навыков использования "венгерского" метода для решения задач дискретного программирования.
Время выполнения лабораторной работы: 2 часа.
2.1. Лабораторная работа № 6
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА
ЗАДАЧИ О НАЗНАЧЕНИЯХ
Стандартная
задача о назначениях формулируется
следующим образом: пусть имеется n
рабочих мест и n
кандидатов на эти места. Назначение
кандидата i на
рабочее место j
связано с затратами
(
)
на выполнение соответствующего вида
работ. Требуется так распределить
кандидатов по n
рабочим местам, чтобы каждый кандидат
был загружен одним и только одним видом
работ, а суммарные затраты на реализацию
всех видов работ были минимальны. К этой
задаче сводится повседневная задача
распределения рабочей силы между
работами по любым видам работ.
Математическая модель данной задачи имеет следующий вид:
,
(2.1)
,
,
(2.2)
,
,
(2.3)
.
(2.4)
Здесь
=1,
если кандидат i
назначается на рабочее место j,
и
=0
в противном случае.
Условия
(2.2) и (2.3) говорят о том, что в каждой
строке и в каждом столбце матрицы
имеется ровно по одной единице. Условие
(2.3) означает, что каждый кандидат может
быть назначен только на одно рабочее
место, а условие (2.2) - что на каждое
рабочее место должен быть назначен один
кандидат.
Число
различных булевых матриц размерности
,
у которых в каждом столбце и каждой
строке стоит ровно по одной единице,
равно
.
Поэтому решение задачи путем прямого
перебора булевых матриц
,
т.е. вычисления и сравнения значений
функции (2.1) на множестве всех булевых
матриц размерности
,
практически невозможно при сколько-нибудь
больших n. Из – за
этого для её решения применяются
специальные методы, среди которых одним
из наиболее эффективных является
"венгерский" метод.
Перейдём к изложению данного метода и введём следующее определение:
Элементы матрицы называются независимыми, если никакая пара из них не расположена в одном столбце или одной строке.
Таким образом задача о назначениях заключается в нахождении n независимых элементов матрицы С, обладающих минимальной суммой.
2.2. «Венгерский метод»
0-я итерация ( "приведение исходной матрицы C" ).
1.
В каждой строке i
матрицы C ищется
минимальный элемент
,
который затем вычитается из всех
элементов строки i.
Это обеспечивает получение в каждой
строке нулевых элементов.
2.
В преобразованной матрице
,
полученной после применения к матрице
C
пункта 1, для каждого столбца j
ищется минимальный элемент
,
который затем вычитается из каждого
элемента столбца j.
Это гарантирует получение в каждом
столбце нулевых элементов.
k-я
итерация (k
1,
"подсчет числа независимых нулей").
На этой итерации используется
справедливость следующего утверждения:
максимальное количество независимых
нулей в матрице совпадает с минимальным
числом строк и столбцов, содержащих
нули матрицы. Поэтому определяется
минимальное число линий, которыми можно
вычеркнуть все нули в матрице.
Если
число таких линий n, то
в матрице n независимых нулей,
и по преобразованной матрице
выписываем результат: в матрице
на месте нулевых элементов матрицы
стоят единицы, а на месте ненулевых
элементов - нули. Если этих линий меньше
n, то переходим к k+1-й
итерации.
k+1-я
итерация. Среди всех незачеркнутых
элементов матрицы ищем
.
Обозначим незачёркнутые элементы
матрицы
через
,
зачёркнутые один раз через
,
зачеркнутые дважды -
.
Произведём преобразование матрицы по
следующей формуле:
(2.5)
и переходим к k-му этапу.
Пример
Есть 5 мероприятий и 5 фирм, которые могут реализовать эти мероприятия; матрица затрат
где — затраты, если для реализации i-го мероприятия назначается фирма j.
Распределить реализацию мероприятий по фирмам таким образом, чтобы суммарные затраты были минимальными.
0-я итерация (приведение матрицы):
min
1 – я итерация (подсчёт числа независимых нулей).
Число независимых нулей равно 4.
2-я
итерация
.
Преобразуем матрицу по формуле (2.5) при
:
3-я
итерация Находим минимальное число
линий, которыми можно перечеркнуть все
нули в матрице
(число независимых нулей):
Число независимых нулей в матрице равно 5. В следующей матрице выделены независимые нули:
Соответствующая матрица «назначений» имеет вид:
т.е.
для того, чтобы получить минимальные
затраты
= 12 + 7 + 14 + 22 + 18 = 73, необходимо, чтобы
1-е мероприятие выполнялось 1-й фирмой;
2-е мероприятие выполнялось 4 – й фирмой,
3 – е мероприятие – 2 – й фирмой, 4 – е
мероприятие – 3 – й фирмой, а 5 – е
мероприятие – 5 – й фирмой.