§44. Функция Грина уравнения Гельмгольца.

-уравнение Гельмгольца

в правой части этого уравнения – источник , в левой – поле источника .

,

Для нахождения решения уравнения Гельмгольца вводят функцию Грина, удовлетворяющую условию:

Здесь надо использовать разложение функции Грина в интеграл Фурье:

где

Для -функции :

Подействуем на функцию Грина оператором :

Используем то , что , а следовательно :

Тогда перепишется в виде:

Равенство этих интегралов приводит к равенству фурье-образов:

Тогда фурье-образ функции Грина:

Теперь надо найти оригинал. Используем для этого теорию вычетов:

Пусть - угол между и . Обозначим . Введём сферические переменные .

, тогда .Следовательно

Используем теорию вычетов. У этого интеграла есть два полюса: и . Надо использовать при расчёте полюс , чтобы получить физически обоснованную ассимптотику.

П ереходим в комплексную плоскость, замыкаем контур обхода сверху. Используем фиктивный переход:

Это позволяет получить нужную асимптотику.

- функция Грина уравнения Гельмгольца

Обозначим

§45. Уравнения Максвелла электромагнитных волн в вакууме.

Нормальные электромагнитные волны в вакууме – это поля, которые могут существовать в отсутствии источников.

Будем рассматривать нормальные волны (т.е. без учёта источников). Уравнения Максвелла в вакууме имеют вид:

Величины и определяют свойства источников поля. Нормальные волны существуют без источников, тогда здесь уравнения Максвелла:

§46. Волновое уравнение в случае вакуума.

Аналогично уравнение получаем для :

Здесь будем использовать калибровку поперечных волн ( ), т.к. в вакууме электромагнитные волны плоские поперечные волны. Тогда:

§47. Решение волнового уравнения в случае плоской электромагнитной волны в вакууме.

Волновое уравнение для :

Где - это различные компоненты векторов .

Волна плоская, т.к. фронт распространения волны представляет собой плоскость.

Имеем систему координат, точку на фронте волны ,

нормаль к фронту волны . Тогда уравнение фронта волны (т.е. плоскости ): . Но т.к. эта плоскость движется, то появляется зависимость от времени.

Если фронт волны- сфера, т.е. волна сферическая, то уравнение фронт а волны и:

Учтём обстоятельство, что форма фронта волны налагает на некоторые ограничения. Введём некоторые вспомогательные координаты:

И будем упрощать оператор . Можно перейти от ( ) к ( ). Рассчитаем и , где функция - сложная.

Рассмотрим компоненту: . Тогда:

Следовательно:

Это для случая плоской монохроматической волны. В результате имеем:

Тогда оператор

Итак, , тогда .

где . Следовательно,

Тогда , где и

Выясним, как происходит движение фронтов волны для 1 и для 2 случаев:

1 случай:

,

Получили, что фронт волны перемещается. Продифференцируем (*) по времени:

где - фазовая скорость. Тогда . Для среды , для вакуума

, тогда . Для вакуума

2 случай:

,

Продифференцируем (**) по времени:

- фазовая скорость

И мы поучили, что фронт волны распространяется в обе стороны. Если волна не встречает препятствий, то решение - и , иначе решение усложняется.