Т лекция 12 еорема Эрроу

При построении моделей и выборе метода обобщения индивидуальных экспертных оценок в групповую оценку полезно знать о хорошо известной в математическом моделировании теореме Эрроу – теореме об агрегировании индивидуальных предпочтений.

Она была сформулирована американским экономистом Кеннетом Джозефом Эрроу, удостоенном в 1972 году Нобелевской премии по экономике [http://www.computerra.ru/think/profy/22508/].

Ее суть сводится к тому, что не существует общего правила обобщения индивидуальных предпочтений, которое одновременно удовлетворяло бы следующим требованиям:

1) полнота - оно должно охватывать всевозможные индивидуальные предпочтения;

2) непротиворечивость - должны соблюдаться рефлексивность и транзитивность предпочтений;

Свойство рефлексивности означает, что если объект а лучше объекта b, то объект b хуже объекта a (будем обозначать a > b  b < a).

Свойство транзитивности означает, что a > b, b > c  a > c).

3) принцип Парето - положительная связь общественных и индивидуальных предпочтений; общественные предпочтения должны зависеть от индивидуальных (если для всех индивидуумов a > b, то и для групповой оценки должно быть a > b, и если одна из альтернатив поднимается в шкалах индивидуальных предпочтений, она не должна опуститься и в шкале групповых предпочтений);

4) независимость от внешних альтернатив (добавление еще одной альтернативы не должно изменить предпочтения по поводу остальных);

5) отсутствие диктата – групповые предпочтения не должны быть полностью идентичны предпочтениям одного лица (диктатора);

6) симметричность относительно индивидуумов – не имеет значения, в каком порядке рассматриваются индивидуальные предпочтения.

Иными словами, если от индивидуальных оценок естественно ожидать внутренней непротиворечивости, то при их обобщении в групповую оценку, при попытке их совместить, невозможно придумать такое правило, которое, с одной стороны, подходило бы к любым разнообразным расхождениям интересов, а с другой, было бы вполне справедливым.

Поскольку то правило обобщения оценок, о котором идет речь, принято называть функцией общественной полезности, или функцией общественного благосостояния, и теорема Эрроу доказывает невозможность ее построения, эту теорему иногда называют теоремой о невозможности демократии.

Теорема Эрроу имеет строгое математическое доказательство [K. J. Arrow Social Choice and Individual Values (Wiley, 1951)].

Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих нарушение сформулированных требований некоторыми существующими правилами агрегирования.

Наиболее известный пример – парадокс Кондорсе (или парадокс нетранзитивности) – был впервые отмечен маркизом де Кондорсе еще в 18 в.

Предположим, что если бы трем экспертам было предложено упорядочить 3 альтернативных решения: А, Б и В, - то для первого из экспертов было бы А > Б > В, для второго Б > В > А, для третьего В > А > Б. Пусть экспертам предложено путем голосования сравнить альтернативы попарно. При сравнении А и Б за то, что А > Б подано 2 голоса (1-го и 3-го экспертов) против одного. При сравнении Б и В за то, что Б > В также подано 2 голоса против одного (это голоса 1-го и 2-го экспертов). Если А > Б и Б > В, должно быть А > В. Тем не менее, это не так, - при сравнении этих альтернатив оказывается, что В > А, снова большинством в 2 голоса против одного (это голоса 2-го и 3-го экспертов).

Таким образом, перед рабочей группой открывается простор для манипулирования мнениями экспертов. Если она стремится избежать сравнения альтернатив В и А, занизив роль альтернативы В, то следует сначала сравнить Б и В, а затем, отбросив В, как худшую, сравнить Б и А. При этом А займет первое место.

Пример зависимости от внешних альтернатив приведем для обобщения ранговых оценок по сумме рангов. Пусть три эксперта вначале сравнивают две альтернативы – А и Б. Их индивидуальные и групповая оценки представлены в таблице.

Альтернативы Эксперты	А	Б
1	1	2
2	1	2
3	2	1
Сумма рангов	4	5
Ранг	1	2

Итак, групповая оценка означает, что А лучше Б.

Вводится третья альтернатива В. Для первого эксперта она хуже остальных двух, для второго новая альтернатива представляется, напротив, самой лучшей, а третьему альтернатива В кажется хуже Б, но лучше А. Свои предпочтения по поводу альтернатив А и Б они не изменили. Построим аналогичную таблицу:

Альтернативы Эксперты	А	Б	В
1	1	2	3
2	2	3	1
3	3	1	2
Сумма рангов	6	6	6

Как ни странно, но с появлением третьей альтернативы предыдущие две (А и Б) стали равноценными (6 = 6).

Построение достаточно логичного правила обобщения индивидуальных предпочтений становится возможным, если снять какое-то из требований теоремы Эрроу. Этим требованием не обязательно должно быть требование отсутствия диктата (т.е. демократия не является невозможной). Обычно отказываются от требования полноты, так как в большинстве практических ситуаций неразумно предполагать наличие всех логически возможных комбинаций индивидуальных предпочтений.