Запитання
1. Які бувають системи числення?
2. Що таке позиційна система числення?
3. З яких цифр складається алфавіт вісімкової системи числення?
4. З яких цифр складається алфавіт трійкової системи числення?
5. З яких цифр складається алфавіт двійкової системи числення?
6. Яке двійкове число відповідає десятковому числу 2?
Вправи
1. Скільки хвилин мають: а) 1 доба і 2 години (тобто 26 годин); б) 2 доби З години і 20 хвилин; в) 1 тиждень 3 доби 10 годин; г) поточний місяць; д) 1 рік?
2. Переведіть числа з різних систем числення у десяткову систему:
а) (23)8; б) (123)4; в) (111011)2; г) (1001100)2; д) (1010011)2.
3. Переведіть числа з десяткової системи у вісімкову: а) 8; б) 15; в) 25;
г) 64; д) 100. Отримані числа переведіть у двійкову систему числення.
4. Переведіть числа з десяткової системи числення у двійкову і назад:
а) 123; 6)951; в) 66; г) 251; д) 512.
§ 8. Системи числення (2)
1. Дії з двійковими числами. Основні арифметичні дії з двійковими числами виконують з урахуванням таблиць додавання, віднімання та множення. Ділення виконують «у стовпчик», з використанням таблиць множення та віднімання (рис. 1.10). Є лише одне правило, яке відрізняється від традиційного: 1+1=10 і наслідок з нього: 10-1=1.
Додавання |
Віднімання |
Множення |
0 + 0 = 0 |
0 – 0 = 0 |
0 · 0 = 0 |
0 + 1 = 1 |
1 – 0 = 1 |
0 · 1 = 0 |
1 + 0 = 1 |
1 – 1 = 0 |
1 · 0 = 0 |
1 + 1 = 10 |
10 – 1 = 1 |
1 · 1 = 1 |
Рис. 1.10. Дії з двійковими числами
Пам'ятайте, що (1)2 = (1)10 і (10)2 = (2)10.
Дію 1 + 1 = 10 виконуємо так: у нульовому розряді результату пишемо цифру нуль, а одиницю переносимо у старший розряд. У десятковій арифметиці це те ж саме, що
9 + 1 = 10.
Приклад 1. Обчислити суму чисел 125 і 63, заздалегідь перевівши їху двійкову систему числення:
(125)10 = 1111101; (63)10 = 111111.
Відповідь: (125)10 + (63)10 = (10111100)2.
Стрілками позначено перенесення одиниць у старші розряди. Переконайтеся самостійно, що (10111100)2 = (188)10.
Приклад 2. Обчислити різницю чисел 125 і 63 у двійковій системі числення:
(125)10 - (63)10 =(?)2.
Відповідь: (111110)2.
Стрілками позначено позичання одиниць у старших розрядів за правилом 10 - 1 = 1. Переконайтеся, що (111110)2 = (62)10.
Приклад 3. Обчислити добуток чисел ЗО і 5 у двійковій системі числення:
(30)10 • (5)10 = ( ? )2.
Відповідь: (10010110)2.
Переконайтеся, що (10010110)2 = 150.
Приклад 4. Поділити число ЗО на 5 у двійковій системі числення:
(30) 10:(5)10 =(?)2.
Відповідь: (110)2.
Переконайтеся, що (110)2 = (6)10.
Зауваження. Дії з дробовими числами тут не розглядаємо. Важливе практичне значення мають дії з цілими числами, особливо у системі числення з основою 16.
2. Система числення з основою 16.
Шістнадцяткова система використовується, зокрема, для кодування адрес комірок оперативної пам'яті.
Алфавіт системи складається з шістнадцяти символів:
О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F.
Де А = 10, B = 11, С = 12, D = 13, E = 14, F = 15.
Числа з однієї системи в іншу переводять за описаними правилами.
Приклад 5. Перевести число (125)10 в шістнадцяткову систему числення:
(125)10 =(?)16,
Відповідь: (125)10=(7D)16.
Приклад 6. Обчислити десяткове значення числа (7D)16.
(7D)16=7 • 161 + 13 • 16°= 125.
Відповідь: (7D)16 = 125.
Приклад 7. Адреса комірки оперативної пам'яті така: FА21.
Визначити її номер.
(FА21)16= 15 • 163 + 10 • 162+2 • 16+1 = 64033.
Відповідь: номер комірки — 64033,
Приклад 8. Кольори в графічних системах кодуються трьома шістнадцятковими числами. Який колір відповідає коду (FF, FF, 00)?
Розв'язування. FF = 15 • 161 + 15 • 16° = 240 + 15 = 255. Отже, десяткові коди кольору такі (255, 255, 0). У палітрі RGB цей код означає суміш червоного і зеленого кольорів. З курсу фізики відомо, що так утворюється жовтий колір.
3. Непозиційна (римська) система числення. У непозиційній системі числення значення цифри не залежить від позиції, в якій вона розташована у даному числі. Прикладом такої системи є римська.
Алфавіт римської системи числення:
І — один, V — п'ять, Х — десять, L — п'ятдесят, С — сто,
D — п'ятсот, М — тисяча.
Римські числа, які позначають роки, можна побачити в титрах кінофільмів, на фасадах будинків. Їх часто використовують для нумерації розділів чи частин у художніх книжках і підручниках.
Довільне число утворюють, комбінуючи цифри алфавіту. Щоб обчислити десяткове значення римського числа, потрібно додати значення всіх римських цифр. Цифри в римському числі розміщені в порядку спадання їхніх значень. Однак є виняток: якщо менша цифра стоїть перед більшою, тоді від більшого числа віднімають менше. Перед більшою цифрою може бути тільки одна менша цифра. Допустимі такі комбінації: СМ=900, СD=400, ХС=90, ХL=40, ІХ=9, ІV=4.
Приклад 9. Розглянемо римські числа та обчислимо їхні значення:
XX =10+10 =20; LVІІІ =50+5+1+1+1 =58;
ХСІV = 100-10+5-1 = 94; ХLІХ = 40+9 = 49 (але не IL).
Зауваження. Не можна 49 подати так: IL, бо така комбінація неприпустима.