Практичне заняття №5 Оцінювання кореляційної залежності між параметрами технічних систем за згрупованими даними

При великій кількості спостережень одне і те ж значення може зустрітися разів, а значення – разів, одна і та ж пара може спостерігатися разів. Тому дані спостережень групують, тобто підраховують частоти , , . Згруповані дані записують у вигляді таблиці, яку називають кореляційною.

Позначимо – вибіркові середні ознак ; – вибіркові середні квадратичні відхилення цих ознак; – об’єм вибірки.

Назвемо вибірковим коефіцієнтом кореляції коефіцієнт:

.

Цей коефіцієнт використовують для оцінювання кореляційного зв’язку між ознаками і для його обчислення використовують ще вираз:

.

Вибіркове рівняння прямої лінії регресії на матиме вигляд:

.

Вибіркове рівняння прямої лінії регресії на матиме вигляд:

.

Завдання до практичного заняття №5: Знайдіть (згідно варіанту у додатку) вибіркове рівняння прямої лінії регресії Х на У та X на Y за даними п’яти спостережень, які описують динаміку ускладнення технічних систем.

Практичне заняття №6

Статистична перевірка статистичних гіпотез у задачах прогнозування

Статистичною називають гіпотезу про вигляд невідомого розподілу або про параметри відомих розподілів. Нульовою (основною) гіпотезою називають висунуту гіпотезу .

Конкуруючою (альтернативною) називають гіпотезу , яка суперечить нульовій гіпотезі.

Висунута гіпотеза може бути вірною або хибною, тому виникає необхідність її перевірки. Оскільки перевірку проводять статистичними методами, її називають статистичною. При цьому можуть бути допущені помилки двох типів.

Помилка першого роду полягає в тому, що буде відкинуто вірну нульову гіпотезу. Ймовірність помилки першого роду називають рівнем значимості і позначають .

Помилка другого роду полягає в тому, що буде прийнято хибну нульову гіпотезу. Ймовірність помилки другого роду позначають .

Статистичним критерієм називають випадкову величину , яку використовують для перевірки гіпотези.

Спостережуваним значенням сп називають значення критерію, обчислене за даними вибірки.

Критичною областю називають сукупність значень критерію, при яких нульову гіпотезу відкидають. Ту область значень критерію, при яких нульову гіпотезу приймають називають областю прийняття гіпотези або областю допустимих значень. Якщо спостережуване значення критерію належить критичній області, то нульову гіпотезу відкидають, а якщо – області прийняття рішення, то приймають.

Критичними точками (межами) кр називають точки, які відмежовують критичну область від області прийняття гіпотези.

Розрізняють правосторонню, лівосторонню і двосторонню критичні області

Правосторонньою називають критичну область, яка визначається нерівністю кр, для її знаходження необхідно знайти кр. Для цього задають рівень значимості і шукають критичну точку з умови, щоб при справдженні нульової гіпотези, ймовірність того, що критерій прийме значення більше, ніж кр дорівнювала прийнятому рівню значимості:

Для кожного критерію є відповідні таблиці, за якими знаходять критичну точку. Якщо сп > кр – нульову гіпотезу відкидають, а при сп < кр – нульову гіпотезу приймають (для правосторонньої області).

Критерієм згоди називають критерій перевірки гіпотези про закон невідомого розподілу генеральної сукупності.

Обмежимося описом застосування критерію Пірсона щодо перевірки гіпотези про нормальний розподіл ознаки генеральної сукупності.

Нехай з генеральної сукупності отримано вибірки об’ємом :

		...
		...

У першому рядку вказано часткові інтервали, а у другому – відповідні частоти .

Припустимо, що ознака генеральної сукупності розподілена за нормальним законом і обчислимо теоретичні частоти . При рівні значимості необхідно перевірити нульову гіпотезу про те, що генеральна сукупність має нормальний розподіл.

За критерій для перевірки нульової гіпотези виберемо випадкову величину:

.

К. Пірсон довів, що при закон розподілу випадкової величини прямує до закону розподілу з степенями свободи. Число степенів свободи знаходять за формулою:

де – число часткових інтервалів вибірки;

– число параметрів передбачуваного розподілу (зокрема, для нормального розподілу – мат сподівання і середнє квадратичне відхилення).

Будуємо правосторонню область виходячи з припущення про справедливість нульової гіпотези:

.

Для того, щоб при заданому рівневі значимості перевірити нульову гіпотезу необхідно:

1) обчислити спостережуване значення критерію

;

2) за таблицею критичних точок розподілу за заданим рівнем значимості і числом степенів свободи знайти критичну точку .

Якщо , то дані спостережень узгоджуються з нульовою гіпотезою (гіпотезу прийнято).

Якщо , то нульову гіпотезу відкидають.

Завдання до практичного заняття №6: