6.5. Оценка адекватности тренда и прогнозирование

Для найденного уравнения тренда необходимо провести оценку его надежности (адекватности), что осуществляется обычно с помощью критерия Фишера, сравнивая его расчетное значение F_р с теоретическим (табличным) значением F_Т (Приложение 4). При этом расчетный критерий Фишера определяется по формуле (2):

, (2)

где k – число параметров (членов) выбранного уравнения тренда.

Для проверки правильности расчета сумм в формуле (2) можно использовать следующее равенство (2):

. (2)

В нашем примере про ВО равенство (2) соблюдается (необходимые суммы рассчитаны в трех последних столбцах табл. 3): 89410,434 = 9652,171 + 79758,263.

Сравнение расчетного и теоретического значений критерия Фишера ведется при заданном уровне значимости¹⁴ с учетом степеней свободы: и . При условии F_р > F_Т считается, что выбранная математическая модель ряда динамики адекватно отражает обнаруженный в нем тренд.

Проверим тренд на адекватность в нашем примере про ВО по формуле (2):

F_Р = 79758,263*5/(9652,171*1) = 41,32 > F_Т, значит, модель адекватна и ее можно использовать для прогнозирования (F_Т = 6,61 находим по Приложению 4 в 1-ом столбце [ = k – 1 = 2 – 1 = 1] и 5-й строке [ = n – k = 5]).

Как уже было отмечено ранее, в нашем примере про ВО России можно произвести выравнивание не только по прямой линии, но и по параболе, чего делать не будем, так как уже найденный линейный тренд адекватно описывает тенденцию¹⁵.

При составлении прогнозов уровней социально-экономических явлений обычно оперируют не точечной, а интервальной оценкой, рассчитывая так называемые доверительные интервалы прогноза. Границы интервалов определяются по формуле (2):

, (2)

где – точечный прогноз, рассчитанный по модели тренда; – коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы =n–1 (Приложение 2)¹⁶; – ошибка аппроксимации, определяемая по формуле (2):

. (2)

Спрогнозируем ВО России на 2007 и 2008 годы с вероятностью 0,95 (значимостью 0,05), для чего найдем ошибку аппроксимации по формуле (2): = = 43,937 и найдем коэффициент доверия по распределению Стьюдента по Приложению 2: = 2,4469 при = 7 – 1= 6.

Прогноз на 2007 и 2008 годы с вероятностью 0,95 по формуле (2):

Y₂₀₀₇ = (257,671+53,371*4) 2,4469*43,937 или 363,6<Y₂₀₀₇<578,7 (млрд. долл.);

Y₂₀₀₈ = (257,671+53,371*5) 2,4469*43,937 или 417,0<Y₂₀₀₈<632,0 (млрд. долл.).

Как видно из полученных прогнозов, доверительный интервал достаточно широк (из-за достаточно большой величины ошибки аппроксимации). Более точный прогноз можно получить при выравнивании по параболе 2-го порядка¹⁷.

Корреляционно-регрессионный анализ

Зависимости бывают функциональными или корреляционными.

Переменные X и Y связаны корреляционной зависимостью, если каждому значению одной из них соответствует ряд распределения другой. При этом связь между факторными и результативными признаками проявляется через изменение средних величин.

Пример: Аналитическая группировка.

группы заводов по стоимости ОПФ	количество заводов	фонды (млн. руб.)		Товарная продукция (млн. шт.)
		всего (∑)		всего (∑)
0,8-3,8	4	8,7	2,2	12,9	3,2
3,8-6,8	13	62,4	4,8	94	7,2
6,8-9,8	9	70,5	7,8	101,7	11,3
9,8-12,8	4	48,1	12	76,4	19,1
итого:	30	189,7	-	285	-

Важной особенностью корреляционных связей является то, что они обнаруживаются не в единичных случаях, а в массе, что требует для исследования наличия значительного количества данных (не менее 15-20).

Задачи корреляционного анализа

1. Определение формы связи между факторными и результативными признаками (выбор математического уравнения, например, y = a+bx);

2. Определение параметров математического уравнения (a, b, c,…- коэффициенты регрессии).

3. Оценка тесноты связи между факторными и результативными признаками;

4. Оценка качества полученного уравнения (модели).

Способы выбора формы связи между факторными и результативными признаками

1. Путём теоретического анализа взаимосвязи между изучаемыми признаками.

2. При помощи аналитической группировки.

3. Графическое изображение показателей (графический анализ).

4. Графическое изображение корреляционной таблицы.

Схема №6: “Классификация корреляционной зависимости”

↓	↓
парная - корреляционная зависимость между двумя признаками: 1. прямолинейная (линейная) отображается уравнением: y = a+bx 2. криволинейная: 2.1. параболическая: y = a+bx+cx2 2.2. гиперболическая: y = a+b ∙ 1/x 2.3. степенная: y = axb	многофакторная – корреляционная зависимость между несколькими признаками, отображается следующими уравнениями: y = a+bx1+cx2+dx3 y = ax1b ∙ x2c ∙ x3d…

Для составления парной корреляционно-регрессионной модели ( = a+bx) нам необходимо определить коэффициенты регрессии (a, b, c,…). Для этого составим систему уравнений, выразив один коэффициент через другой, и решим её.

Правило составления алгоритма системы уравнений

1. Составим квадратичную матрицу из коэффициентов регрессии.

2. Слева, отступив на столбец и строку, сверху – на строку и столбец, запишем наши неизвестные.

3. Перемножим неизвестные слева и сверху на коэффициенты регрессии. Первый элемент первой строки умножим на n – количество наблюдений.

		x	y
x	a a	b b

a = …

b = …

Показатели корреляции

Для того, чтобы убедиться в статистической значимости уравнения регрессии, необходимо оценить тесноту связи, т.е. разброс фактических данных в поле корреляции или отклонение фактических данных от теоретической линии регрессии.

1. При прямолинейной парной зависимости теснота связи оценивается по парному коэффициенту корреляции:

Коэффициент корреляции имеет пределы: .

Если , то существует Если r=0, то связь отсутствует.

функциональная зависимость.

r=1 r=-1 r=0

Если r > 0, то связь прямая; если r < 0, то связь обратная.

Коэффициент корреляции характеризует корреляционную зависимость.

Оценка тесноты связи

Если: r < 0,1 – связь отсутствует;

0,1 ≤ r ≤ 0,3 – связь слабая;

0,3 ≤ r ≤ 0,5 – связь заметная;

0,5 ≤ r ≤ 0,7 – связь умеренная;

0,7 ≤ r ≤ 0,9 – связь высокая;

0,9 ≤ r ≤ 0,99 – связь весьма высокая.

2. При криволинейной зависимости теснота связи оценивается индексом корреляции:

.

3. Чтобы учесть колеблемость отдельных факторов и привести их в единую систему измерения (освободиться от различной размерности), рассчитываются β коэффициенты: .

Они показывают, на сколько сигм (средних квадратических отклонений) изменится результатирующий показатель при изменении x на 1 сигму (СКО).

4. Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится результатирующий показатель, при изменении x на 1%: .

5. Коэффициент детерминации: ,

6. - эмпирическое корреляционное отношение.