Тема №11. Напряжения по наклонным сечениям при осевом растяжении или сжатии

Правильно оценить опас­ность, угрожающую прочности стержня, можно, лишь зная полно­стью его напряженное состояние, а это требует уменья вы­числять напряжения не только по сечению, перпенди­кулярному к оси, а по любому.

Вычислим напряжения, действующие по какому-либо наклонному сече­нию. Возь­мем призматический стержень, растянутый силами Р (рис. 11.1). Раз­делим его на две части: I и II сечением тп, составляющим угол  с попереч­ным сечением mk, перпен­дикулярным к оси. Тот же угол составляют между собой и нормали к этим сечениям.

Рис. 11.1.

За положительное направление отсчета этого угла возьмем направ­ление против часовой стрелки. Нормаль ОА, направлен­ную на­ружу по отношению к отсеченной части стержня, будем называть внешней нормалью к сечению тп. Площадь сечения mk обозначим F_o, пло­щадь же сечения тп обозначим F_a.

Для нахождения напряжений, передающихся через намеченное сечение от верхней (I) части на нижнюю (II), отбросим мысленно верхнюю часть и заменим действие ее на нижнюю напряжениями р_.

Для равновесия нижней части напряжения р_ должны уравнове­шивать силу Р и быть направлены параллельно оси стержня. В дан­ном случае на­пряжения уже не перпендикулярны к той площадке, по которой они дейст­вуют. Величина их тоже будет иной, чем для площадки mk.

Сделав предположение, что в достаточном удалении от мест при­ложения внешних сил Р напряжения р_ равномерно распределены по площади на­клонного сечения тп, найдем

.

Но так как F_a=F/cos , то

.

где ₀=P/F_o – нормальное напряжение по площадке mk, перпендикуляр­ной к растягивающей силе.

Рис. 11.2.

При изменении угла  меняется и величина пол­ных напряжений р_а, дейст­вующих по проведенной площадке. Чтобы при лю­бом угле наклона а иметь дело всегда с одними и теми же видами напряже­ний, разложим напряжения р_а на две составляющие: в плоскости тп и перпенди­кулярно к ней (рис. 11.2). Та­ким образом, напряжение р_а, действующее в точке А площадки тп, мы заменяем двумя взаимно перпенди­кулярными напряжениями: нормальным напряже­нием _а и касательным напряжением _.

Величины этих двух напряжений будут меняться в зависимости от изме­нения угла а между нормалью к площадке и нап­равлением растягивающей силы. Из рис. 11.2 имеем

_ = p_ cos  = ₀  cos², (1).

_ = p_sin  = ₀  sin   cos  = 0,5₀  sin2. (2).

Установим следующие условия относительно знаков напряжений _ и _. Растягивающие напряжения _, т. е. совпадающие с на­правлением внешней нормали, будем считать положительными; нор­мальные напряжения обрат­ного направления – сжимающие – будем принимать со знаком минус.

Касательное напряжение будем считать положительным, если при пово­роте вектора  против часовой стрелки на 90° его направле­ние совпадет с на­правлением внешней нормали. Обратное направ­ление  будем считать отри­цательным.

На рис. 11. 3 показаны принятые условия относительно знаков  и .

Рис. 11.3. Рис. 11.4.

При любом угле наклона площадки  мы всегда будем иметь дело лишь с двумя видами напряжений, действующих в каждой точке проведенного разреза: с нормальным и касательным напряже­ниями.

На рис. 11.4 показано действие этих напряжений на тонкий слой материала (на рисунке заштрихованный), выделенный из растяну­того стержня двумя параллельными сечениями 1 – 1 и 2 – 2. К каж­дой из плоскостей приложены и нормальные растягивающие напря­жжения _, и касательные _, вызываю­щие сдвиг сечений 1 – 1 и 2 – 2, параллельно одно другому.

Таким образом, наличие двух видов напряжений приводит к двум видам деформации: удлинению (или укорочению) и деформации сдвига. Этому со­ответствуют и два вида разрушения материала – путем отрыва и путем сдвига, что наблюдается и в опытах на рас­тяжение.

Для проверки прочности материала стержня необходимо найти наи­большие значения напряжений _ и _, величины которых зави­сят от поло­жения площадки тп.

Из формул (1) и (2) следует, что _ достигает своего наиболь­шего значе­ния, когда cos² будет равен единице и угол =0. Мак­симум же _ получится при sin2=l, т. е. при 2=90° и =45°. Величины этих наибольших напряже­ний будут равны

mах _ = ₀ = ; max _ = . (3)

Таким образом, наибольшие нормальные напряжения возникают в данном случае по площадкам, перпендикулярным к оси стержня; наи­большие касательные напряжения действуют по площадкам, состав­ляющим угол 45° с направлением оси стержня, и равны поло­вине наи­больших нормальных напряжений.

Понятие о главных напряжениях. Виды напряжен­ного состояния материала.

На практике, возможны случаи, когда под дей­ствием внешних сил эле­мент материала подвергается растяжению или сжатию по двум и трем на­правлениям, т. е. находится в усло­виях сложного напряженного состояния.

При простом растяжении возможны напряжения двух видов – нормаль­ные и касательные. Из формул (1) и (2) следует, что по сечениям, пер­пен­дикулярным к оси растянутого стержня (=0), возникают только нормальные напря­жения (=0), а по сечениям, параллельным его оси (=90°), нет ни нор­мальных, ни ка­сательных напряжений (=0 и =0).

Такие площадки, по которым нет касатель­ных напряжений, называются главными; нор­мальные напряжения, действующие по этим площадкам, назы­ваются главными напряже­ниями.

Рис. 11.5.

В каждой точке любого напряженного тела можно провести три взаимно пер­пендикулярные главные площадки, через которые передаются три главных (нормаль­ных) напряжения; из них два имеют экстре­мальные значения; одно яв­ляется наибольшим нор­мальным напряжением, дру­гое – наи­меньшим, третье – промежуточное. В каждой точке напряженного тела можно выделить элементар­ный кубик; гранями кото­рого служат главные пло­щадки. Материал кубика растягивается или сжимается тремя взаимно перпендику­лярными главными напря­жениями, пере­дающимися через эти грани (рис. 11.5).

В случае простого растяжения одна главная площадка в каждой точке перпендикулярна к оси стержня (=0°), а две дру­гие параллельны этой оси (=90°). Так как по первой главной пло­щадке нормальное напряжение не равно нулю (_≠0), а по двум другим оно обращается в нуль, то при простом растяжении и сжатии в каждой точке стержня из трех главных напряжений только одно не равно нулю; оно направлено параллельно растягивающей силе и оси стержня. Такое напряженное состояние материала называется ли­нейным (или одноосным). Выделенный из стержня элемент растя­гивается лишь в одном направлении.

На практике встречаются случаи, когда элемент материала, в виде ку­бика, подвергается растяжению или сжатию по двум вза­имно перпендику­лярным направлениям или по всем трем (рис. 5). Случай работы материала, когда два главных напряжения не равны нулю, называется плоским (или двухосным) напряженным состояни­ем. Если же все три главных напряжения не равны нулю в рассмат­риваемой точке, то налицо самый общий случай распределения на­пряжений в мате­риале – объемное (трехосное) напряженное состоя­ние; элементарный кубик будет подвергаться растяжению или сжа­тию по всем трем взаимно перпен­дикулярным направлениям.

Главные напряжения условимся в дальнейшем обозначать бук­вами ₁, ₂, ₃. Нумерацию главных напряжений установим таким образом, чтобы ₁ обозначало наибольшее по алгебраической величи­не, а ₃ – наименьшее на­пряжение.

Таким образом, мы различаем три вида напряженного состояния:

1) объемное напряженное состояние – когда все три главных напряже­ния не равны нулю (например, случай растяжения или сжа­тия по трем вза­имно перпендикулярным направлениям);

2) плоское напряженное состояние – когда одно главное на­пряжение равно нулю (случай растяжения или сжатия по двум направлениям);

3) линейное напряженное состояние – когда два главных на­пряжения равны нулю (случай растяжения или сжатия в одном направлении).