Определение напряжений в стержнях круглого сечения

Крутящие моменты, о которых шла речь выше, представляют лишь равнодействующие внутренних сил. Фактически в попе­речном сечении скручиваемого стержня действуют непрерывно распределенные внутренние касательные напряжения, к опреде­лению которых теперь и перейдем.

Ознакомимся прежде всего с результатами опытов. Если на поверхности стержня круглого сечения нанести прямоугольную сетку, то после деформации окажется (рис. 13.4):

1) прямоугольная сетка превратится в сетку, состоящую из параллелограммов, что свидетельствует о наличии касательных напряжений в поперечных сечениях бруса, а по закону парности касательных напряжений – и в продольных его сечениях;

2) расстояния между окружностями, например между I и II, не изменятся. Не изменятся длина стержня и его диаметр. Естес­твенно допустить, что каждое поперечное сечение поворачивает­ся в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое (гипотеза плоских и жестких сечений). На основании этой гипотезы можно считать, что радиусы всех поперечных сечений будут поворачиваться (на разные углы), оставаясь прямолиней­ными.

Рис. 13.4. Рис. 13.5.

На основании этого можно принять, что при кручении в попе­речных сечениях стержня действуют только касательные напря­жения, т. е. напряженное состояние в точках скручиваемого стержня представляет собой чистый сдвиг.

Формулы, полученные на основе этого допущения, подтвер­ждаются опытами. Точка D переместится по дуге DD', точка С — по меньшей дуге С С' (рис. 13.5).

На рис. 13.6 в более крупном масштабе изображена часть стерж­ня между сечениями I и II и показана одна сторона KN элемента KLHN (см. рис. 13.4).

Рис. 13.6.

При кручении деформации сдвига и касательные напряжения прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения.

В центре тяжести круглого сечения касательные напряжения равны нулю. Наибольшие касательные напряжения будут в точ­ках сечения, расположенных у поверхности стержня.

Формула для определения касательных напряжений при кручении имеет вид:

,

где I_р – полярный момент инерции сечения;  – произвольный радиус.

Как видно из этой формулы, в точках, одинаково удаленных от центра сечения, напряжения  одинаковы.

Наибольшие напряжения в точках у контура сечения:

, где .

Геометрическая характеристика W_p называется полярным моментом сопротивления или моментом сопротивления при кру­чении.

Рис. 13.7.

Опыты показывают, что хрупкие материалы, например чугун, при кручении разрушаются по плоскости (говоря точнее, по винтовой поверхности), наклоненной к оси вала под углом 45° (рис. 13.7, б), т. е. по тем плоскостям, где действуют наиболь­шие растягивающие напряжения.

Следовательно, при кручении во всех точках стержня, кроме точек его оси (в которых вообще не возникает напряжений), имеет место двухосное напряженное состояние – чистый сдвиг. При кручении материал у поверхности стержня напряжен силь­нее, чем материал, расположенный ближе к оси стержня. Таким образом, напряженное состояние является неоднородным. Если же скручивать тонкостенную трубу, то можно считать, что практически во всех точках ее стенки возникают одинаковые напряжения, т. е. в этом случае напряженное состояние будет однородным. Опыты с кручением таких труб используют обычно для изучения чистого сдвига и, в частности, для установления предела текучести при сдвиге _у.