Раздел 1.2: «Векторная алгебра».
5-е занятие. Векторы.
Повторить: понятие вектора в
-
мерном пространстве, ранга системы
векторов, базы (базиса) и его нахождение.
Пример 1. Вычислить ранг системы
векторов:
.
Решение. Проведём ЭП с матрицей:
.
Т.к.
,
то
ранг системы векторов равен 3.
Пример 2. Найти какую-нибудь базу
системы векторов и через неё выразить
остальные векторы системы:
.
Решение. 1). Вычислим ранг системы векторов:
ранг
системы векторов равен 3,
любые три вектора из пяти образуют
базис. В качестве базиса выберем векторы
.
Разложим по этому базису оставшиеся
векторы
и
.
2).
,
где
- некоторые числа, определяемые из
системы уравнений:
по методу Гаусса:
т.е.
координаты вектора
в базисе
есть
или
.
3). Аналогично,
,
находим
или
.
Задания для решения.
Вычислить ранги системы векторов:
а).
.
б).
.
в).
.
Ответ: а). 3. б). 3. в). 3.
Найти какую-нибудь базу системы векторов и через неё выразить остальные векторы системы:
а).
.
б).
.
Ответ: а).
.
б).
.
Векторы
составляют базис пространства. Каковы
в этом базисе координаты векторов:
а).
.
б).
.
в).
.
г).
.
д).
?
Ответ: а).
.
б).
.
в).
.
г).
.
д).
.
Векторы составляют базис пространства. Можно ли подобрать такие числа
,
при которых
?
Указание. Составить и решить систему
уравнений:
.
Ответ: да, можно:
.
6-е занятие. Векторы. Скалярное произведение.
Повторить: определение и свойства скалярного произведения векторов, определение коллинеарных векторов, угла между двумя векторами, вычисление проекции одного вектора на другой.
Опр. Модулем вектора
называется
его длина:
.
Опр. Скалярным произведением векторов
и
называется произведение их модулей на
косинус угла между ними:
.
Угол между векторами
и
:
;
.
Скалярное произведение в координатах:
,
где
,
.
Опр. Коллинеарными называются векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны.
Обозначим
- проекция вектора
на вектор
,
тогда
,
откуда соответствующие
проекции вектора на вектор:
;
.
Задания для решения.
Найти скалярный квадрат вектора: а).
.
б).
.
в).
.
Указание. Скалярный квадрат вектора
.
Ответ: а). 49. б). 36. в). 9.
Даны векторы
и
.
При каком значении параметра
?
Ответ:
.Вычислить угол между прямыми
и
,
если
,
,
,
.
Указание. Вычислить косинус угла между
векторами
и
.
Ответ:
.
Коллинеарны ли векторы
и
,
где
,
?
Ответ: да.Даны точки
,
,
,
.
Определить векторы
,
и найти
.
Ответ: -6.Даны точки
,
,
.
Найти косинус угла между векторами
и
.
Ответ: -1.Дан
с вершинами
,
,
.
Найти
и сделать проверку.Найти скалярное произведение векторов
и
,
если
,
и угол между
и
равен
.
7-е занятие. Векторы. Векторное и смешанное произведение.
Повторить: определение и свойства векторного и смешанного произведения векторов.
Опр.
,
если:
1).
,
где
- угол между
и
;
2).
и
;
3). Векторы
образуют правую тройку.
Применение: площадь параллелограмма,
построенного на векторах
и
,
вычисляется по формуле:
,
площадь треугольника
.
Векторное произведение в координатах:
,
где
.
Опр.
.
Применение: объём параллелепипеда,
построенного на векторах
,
и
:
;
объём треугольной призмы:
;
объём треугольной пирамиды:
;
условие компланарности:
.
Задания для решения.
Даны векторы
и
.
Найти координаты векторных произведений:
а).
;
б).
.
Ответ: а).
.
б).
.Сила
приложена к точке
.
Найти её момент относительно начала
координат. Указание.
.Даны три силы
,
,
,
приложенные к точке
.
Определить момент их равнодействующей
относительно точки
.
Указание.
,
.
Ответ:
.
Вычислить объём треугольной призмы, построенной на векторах
,
,
.
Ответ: 25.
Вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах
,
,
,
и исследовать, какую тройку образуют
эти векторы.
Ответ: 81, правую.
Построить пирамиду с вершинами
,
,
и
и вычислить её объём, площадь грани
и высоты пирамиды, опущенную на эту
грань.
Указание.
,
где
.
Ответ: 14,
.
Построить пирамиду с вершинами
,
,
и
,
вычислить её объём и высоту, опущенную
на грань
.
Ответ: 14,
.
Вычислить диагонали и площадь параллелограмма, построенного на векторах
и
.
Решение.
,
,
,
,
,
.
Второй способ:
;
.
Ответ:
.
8-е занятие. Контрольная работа № 2 по теме «Векторная алгебра».
Примерный вариант контрольной работы.
Написать разложение вектора
по векторам
,
,
.Вычислить объём треугольной пирамиды с вершинами
,
,
и
,
а также её высоту, опущенную на грань
.
Исследовать и решить однородную систему уравнений:
Дополнительные задания по теме «Линейная и векторная алгебра».
Вычислить определители:
а).
.
б).
.
в).
.
г).
.
Ответ: а).
.
б). 1. в).
.
г). 144.
Найти площадь треугольника с вершинами
.
Ответ: 10.
Решить системы уравнений:
а).
б).
в).
Ответ: а).
.
б).
.
в). Несовместна.
Определить угол между векторами
и
.
Ответ:
.
Даны векторы
и
.
Определить
и
.
Ответ:
;
.
Даны три последовательные вершины параллелограмма
,
и
.
Найти его четвертую вершину
и угол между векторами
и
.
Ответ:
,
.Определить и построить вектор , если:
а).
,
.
б).
,
.
в).
,
.
Найти в каждом случае площадь
параллелограмма, построенного на
векторах
и
.
Ответ: а).
;
.
б).
;
.
в).
;
.
Вычислить площадь параллелограмма и его высоту, построенного на векторах
и
.
Ответ:
;
.Даны вершины треугольника:
,
,
.
Вычислить его площадь и высоту
.
Ответ:
;
.Найти смешанное произведение векторов
,
,
.
Показать, что точки
,
,
и
лежат в одной плоскости.
Показать, что векторы
,
,
компланарны.Вычислить объём треугольной пирамиды с вершинами
,
,
и
,
а также длину высоты пирамиды, опущенной
на грань
.
Ответ:
;
.
Библиография
П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. 1 том.
Н. С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. 1 том.
Д. Письменный. Конспект лекций по высшей математике.
В. С. Шипачёв. Высшая математика.
В.П. Минорский Сборник задач по высшей математике.
А.А. Шубович, Ю.В. Клочков. Конспект лекций по теме: «Линейная алгебра».
А.А. Шубович. Конспект лекций по теме: «Векторная алгебра».
В авторской редакции.
Компьютерная вёрстка Шубовича А.А.
Подписано в печать Формат
Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100. Заказ
Издательско-полиграфический комплекс ВГСХА «Нива»