5. Свойства оптимальных стратегий

Оптимальные стратегии имеют ряд свойств, которые используются в различных методах их нахождения. Так как функция выигрыша линейна по каждому из своих аргументов при фиксированном значении другого аргумента, то из условия (3.4) следует

Теорема 3.3 (критерий оптимальности стратегий). Пусть ν — цена игры с платежной матрицей А. Тогда

а) вектор будет оптимальной стратегией игрока 1 в том и только в том случае, если для любой чистой стратегии игрока 2 выполняется неравенство

; (3.5)

б) вектор будет оптимальной стратегией игрока 2 в том и только в том случае, если для любой чистой стратегии игрока 1 выполняется неравенство

. (3.6)

Таким образом, при проверке оптимальности смешанной стратегии игрока можно ограничиться чистыми стратегиями его противника.

В оптимальной смешанной стратегии обычно используется лишь часть чистых стратегий игрока. Будем называть чистую стратегию игрока 1 (игрока 2) активной, если она входит в его оптимальную стратегию с положительной вероятностью (частотой), т.е. .

Свойства активных стратегий описывает следующая теорема.

Теорема 3.4. Пусть { , , ν} — решение матричной игры. Тогда

а) если

б) если .

Иными словами, если чистая стратегия игрока является активной, то его выигрыш в ситуации, образованной этой чистой стратегией и оптимальной стратегией другого игрока, равен цене игры.

Решение игры в смешанных стратегиях

Теорему 3.4 можно использовать для нахождения решения игры, в которой каждый из игроков имеет две чистых стратегии.

Пример 3.2. Найдем решение игры с платежной матрицей из примера 3.1:

	В1	В2
A1	2	3	х1
A2	4	2	х2
	y1	y2

Так как максимин = 2, а минимакс = 3, то эта игра не имеет седловой точки, а значит и решения в чистых стратегиях. Найдем ее решение в смешанных стратегиях. Известно, что в любой игре 2х2, не имеющей седловой точки, все чистые стратегии, входящие в оптимальные стратегии игроков, являются активными.

Пусть (х₁, х₂) и (у₁, у₂) — оптимальные стратегии игроков, а ν — цена игры. Тогда из теоремы 3.4 следует, что выигрыш игрока 1 в ситуации, образованной его оптимальной стратегией (х₁, х₂) и первой чистой стратегией (1, 0) игрока 2, равен цене игры, т.е. 2х₁ + 4х₂ = ν.

Используя эту теорему в ситуации, когда игрок 1 применяет свою оптимальную стратегию (х₁, х₂), а игрок 2 — свою вторую чистую стратегию (0, 1) получаем, что 3х₁ + 2х₂ = ν. Кроме этого имеем, что х₁ + х₂ = 1, как сумма вероятностей.

Таким образом, оптимальную стратегию игрока 1 и цену игры можно найти из системы уравнений:

Вычтя из первого уравнения второе, получим, что -х₁ + 2х₂ = 0. Следовательно, х₁ = 2х₂. Подставляя в третье уравнение, получим, что х₁ = 2/3, х₂ = 1/3 и ν = 8/3.

Для определения оптимальных стратегий игрока 2 снова используем теорему 3.4 в ситуации, когда игрок 1 применяет свою первую чистую стратегию (1, 0), а игрок 2 — свою оптимальную стратегию (у₁, у₂). Так как цена игры равна 8/3, то получаем уравнение: 2у₁ +3у₂ = 8/3.

Поскольку у₁ + у₂ = 1, как сумма вероятностей, оптимальную стратегию игрока 2 можно найти из системы уравнений:

Ее решение: у₁ = 1/3 и у₂ = 2/3. Значит, решение игры:

х^* = (1/3, 2/3); у^* = (1/3, 2/3); ν = 8/3.

Пример 3.3. Найдем решение игры в орлянку. Ее матрица имеет вид:

Оптимальную стратегию игрока 1 и цену игры найдем из системы уравнений:

Вычтя из первого уравнения второе, получим, что . Следовательно, , а ν = 0.

Оптимальную стратегию игрока 2 находим из системы уравнений:

Ее решение: . Таким образом, игра в орлянку имеет решение:

, и ν = 0,

что полностью соответствует полученным ранее результатам.

Из теоремы 3.4 вытекает следующее правило отбраковки чистых стратегий игрока.

Теорема 3.5. Пусть ν — цена игры, вектор — оптимальная смешанная стратегия игрока 1, а вектор — оптимальная смешанная стратегия игрока 2. Тогда

1) если ,

2) если .

Иными словами, если выигрыш (проигрыш) игрока 1 (игрока 2) в ситуации, образованной его чистой стратегией и оптимальной стратегией другого игрока, меньше (больше) цены игры, то такая чистая стратегия не может быть активной. В любой оптимальной смешанной стратегии вероятность ее использования равна нулю. Такие чистые стратегии могут быть исключены из рассмотрения без изменения множества решений игры. Это позволяет уменьшить размерность игры и упрощает нахождение ее решения.