Решение. Умножим слева обе части уравнения на , а справа – на . Тогда . В результате получаем решение системы . Теперь следует определить обратные матрицы:

,

и использовать их в полученной формуле:

Типовые примеры к практическому занятию № 3

1. Даны векторы: ; .

a) Записать разложение этих векторов по ортам координатных осей.

Решение.

Если , то разложение вектора по ортам координатных осей имеет вид: .

Поэтому: , .

б) Найти векторы ; и их модули (длину) , .

Решение.

;

.

Учитывая, что модуль вектора вычисляется по формуле , получаем .

в) Найти скалярный квадрат вектора , т.е.

Решение. Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора .

г) Найти скалярное произведение .

Решение.

Скалярное произведение векторов и определяется по формуле .

Поэтому .

д) Найти угол между векторами и .

Решение. Пусть обозначает угол между векторами и . Тогда .

2. В базисе заданы векторы , , . Установить, что они образуют базис.

Решение. В n-мерном векторном пространстве, n векторов образуют базис, если они являются линейно независимыми. Составим матрицу из этих векторов и вычислим ее определитель:

Он не равен нулю, следовательно, векторы , , образуют базис.

3. а) Линейный оператор в базисе задан матрицей . Найти образ , если .

Решение. Если оператор задан матрицей , то образ является произведением матрицы и вектора :

4. Найти собственные значения и собственные векторы матицы

. Провести нормирование собственных векторов. Привести матрицу к диагональному виду.

Решение. Пусть единичная матрица. Составим характеристическое уравнение , .

Решением уравнения являются собственные значения линейного оператора и .

Теперь найдем собственный вектор , соответствующий собственному значению . Для этого решим матричное уравнение

или .

Оно сводится к одному уравнению . Положим в нем , ( – число, не равное нулю). Тогда . В результате получаем первый собственный вектор .

Аналогичным образом, получаем второй собственный вектор , соответствующий собственному значению .

Осуществим нормирование векторов и . Для этого найдем модули этих векторов и разделим каждую компоненту соответствующего вектора на модуль. В результате получаем

, .

Таким образом, в базисе, состоящем из любых пар собственных векторов, матрица будет иметь диагональный вид

или .

5. Квадратичную форму

записать в матричном виде.

Решение. Запишем квадратичную форму

в матричном виде

и используем это выражение для представления заданной формы

.

6. Привести квадратичную форму к каноническому виду; записать соответствующее преобразование .

Решение. Выделяя полный квадрат, приведем квадратичную форму к каноническому виду:

Обозначим , тогда .

Преобразуя систему, получаем . Таким образом, матрицу преобразования, приводящую квадратичную форму к каноническому виду, можно записать так .

7. Определить, является ли положительно определенной квадратичная форма .

Решение. Запишем матрицу коэффициентов, соответствующую данной квадратичной форме . Вычислим главные миноры матрицы: , , .

Все главные миноры матрицы больше нуля. Следовательно, квадратичная форма является положительно определенной.