Типовые примеры к практическому занятию № 2

1. Решить систему линейных уравнений

Решение. Метод обратной матрицы. Запишем систему в матричном виде. Для этого обозначим матрицу системы (она состоит из коэффициентов при переменных); столбец неизвестных , столбец свободных членов , состоящий из правых частей уравнений. Тогда система представима в матричном виде: .

Для нахождения умножим матричное уравнение на слева: . Найдем матрицу

Тогда столбец неизвестных:

Решение. Метод Крамера. Пусть - определитель матрицы : . Так как определитель не равен нулю, то можно использовать метод Крамера; система имеет единственное решение.

Определитель получаем из определителя заменой первого столбца на столбец свободных членов , а остальные столбцы остаются прежними: . Аналогично, заменяя в исходном определителе второй, а затем третий столбцы на столбец свободных членов, получим соответственно и .

,

Теперь воспользуемся формулой Крамера и найдем все переменные: , , .

Решение. Метод Гаусса. Метод Гаусса – это универсальный метод решения систем линейных уравнений. Он заключается в последовательном исключении переменных.

Составим расширенную матрицу системы, включающую в себя матрицу системы и столбец свободных членов .

Произведем элементарные преобразования со строками матрицы, приведя ее к треугольному виду, т.е. к матрице, в которой все элементы, ниже главной диагонали равны нулю (при этом диагональные элементы не равны нулю).

Шаг 1. Если в матрице элемент , то перестановкой строк нужно добиться, чтобы элемент . В нашем примере .

Сначала обнулим элементы первого столбца ниже главной диагонали. Для этого сначала умножим элементы первой строки на число и прибавим к элементам второй строки. Затем умножим элементы первой строки на число и прибавим к элементам третьей строки:

→

Шаг 2. Если в полученной матрице , то обнулим элемент второго столбца ниже главной диагонали. Для этого умножим вторую строку на число и прибавим к третьей строке:

→

Полученной треугольной матрице соответствует система уравнений

.

Из третьего уравнения системы вычисляем ; из второго ; из первого .

2. Найти базисное решение системы уравнений

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы

Следовательно, ранг матрицы системы равен двум и система является неопределенной.

Определитель из коэффициентов при переменных отличен от нуля: . Поэтому их можно выбрать в качестве основных (базисных). Оставляя их в левой части, переменную перенесем в правую часть. В результате получим систему

Решение этой системы зависит от переменной

Придавая переменной произвольное значение , получим общее решение системы:

Полагая , найдем одно из базисных решений

3. Решить систему линейных однородных уравнений. Найти фундаментальную систему решений.

Решение. Преобразуем матрицу системы

Выберем , в качестве базисных переменных и решим систему

Полагая и , получим общее решение системы

Из общего решения выделим два частных решения:

1) пусть , , тогда

2) пусть , , тогда

Они образуют фундаментальную систему решений

4. Решить матричное уравнение где

.