1.1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 5, 7 если: а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторятся?

О а) Первую цифру можно выбрать четырьмя способами (числа вида 025, 073, .. не считаем трехзначными). Выбрав первую цифру (например, цифру 5), вторую цифру можно также выбрать четырьмя способами (второй цифрой может быть любая из оставшихся 0 2, 3, 7). Третью цифру, очевидно, можно выбрать тремя способами. Следовательно, согласно правилу умножения имеется 4*4*3 = 48 способов расстановки цифр, т е. искомых трехзначных чисел будет 48 (вот некоторые из них: 500, 237, 530, 702, 523, …).

б) Понятно, что если цифры могут повторяться, то трехзначные числа можно составить 4*5*5 = 100 способами (вот некоторые из них: 222, 200, 332, .. ).

1.2. Сколько чисел, содержащих не менее трех попарно различных цифр можно составить из цифр 2, 4, 6, 8, 9?

О По правилу умножения трехзначных чисел можно составить 5*4*3 = 60 способами, а четырехзначных — 5*4*3*2 = 120 способами, столько же пятизначных чисел (5*4*3*2*1). По правилу сложения всего можно составить 60+ 120 + 120 = 300 чисел, состоящих не менее чем из трех попарно различных цифр.

1.3. Сколькими способами могут быть распределены три призовых места среди 16 соревнующихся?

1.4. В студенческой группе 12 девушек и 16 юношей. Сколькими способами можно выбрать двух студентов одного пола?

1.5. Если подбросить одновременно три игральные кости, то сколько имеется различных возможных комбинаций выброшенных очков?

1.6. В цветочном киоске 7 видов цветов. Сколькими разными способами можно составить букет, содержащий 3 цветка?

1.7. Из пункта А в пункт В можно добраться самолетом, поездом, автобусом а из него в пункт С — пешком, на тракторе, на лошади, на лодке. Сколькими способами можно выбрать дорог от пункта А до пункта С через В?

1.8. Сколькими способами можно выбрать один цветок из корзины, в которой имеется 12 гвоздик, 15 роз и 7 хризантем?

1.9. Составить различные размещения по два элемента из элементов множества А (3, 4, 5) и подсчитать их число.

О Из трех элементов можно образовать следующие размещения по два элемента: (3, 4); (4, 3); (3, 5); (5, 3); (4, 5); (5, 4). Таким образом, всех их 6. Однако число размещений можно подсчитать и по формуле (1):

1.10. Сколькими способами 3 награды (за I, II, III места) могут быть распределены между 10 участниками соревнований?

О Будем считать, что каждый участник соревнований может получить не более одной награды. Выбрать 3-х участников соревнований из 10 можно

способами, так как призовые тройки отличаются друг от друга либо составом участников, либо порядком их следования.

Этот же результат можно получить, применяя правило умножения: претендентов на главную награду (за 1 место) 9; на вторую — 8; на третью 7; число различных способов распределения наград равно 10*9*8 = 720.

1.11. Сколько имеется пятизначных чисел, все цифры у которых различны?

1.12. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг (три горизонтальных полосы), если имеется материя 5 различных цветов?

1.13. Из группы в 15 человек выбирают 4-х участников эстафеты 800 х 400 х 200 х 100. Сколькими способами можно расставить спортсменов на этих этапах?

1.14. Составить различные перестановки из элементов множества А {5; 8; 9}.

О По формуле (2) число перестановок из 3-х элементов равно Р₃ = 3! = 1*2*3 = 6, Составляем их: (5, 8, 9); (5, 9, 8); (8, 9, 5); (8, 5, 9); (9, 5, 8); (9, 8, 5).

1.15. Сколькими способами можно расставить на книжной полке десятитомник произведений Д. Лондона, располагая их: а) в произвольном порядке; б) так чтобы I, V и IХ тома стояли рядом (в любом порядке); в) так, чтобы I, II, III тома не стояли рядом (в любом порядке).

О а) Число способов расстановки 10 книг равно числу перестановок из элементов: Р₁₀ = 10! = 3 628 800.

б) Мысленно связав I, V и IХ тома или положив в один пакет, получим 8 книг, т. е, 7 книг и 1 связку (или пакет) книг. Их можно расставить на полке = 8! способами. Каждому из этих способов расстановки соответствуют Рз = 3! способов расстановки книг, находящихся в связке (I, V и IХ тома по-прежнему стоят рядом, но в ином порядке). Согласно правилу умножения, число возможных расстановок 10 книг на полке так, чтобы 3 определенные книги (I, V и IХ тома) стояли рядом равно Р₈ * Р₃ =8! * 3! = 40320 * 6 = 241920.

в) Искомое число способов расстановки книг, с учетом пунктов а) и 5), равно Р₁₀ — Р₈ * P₃ = 3 628 800 - 241 920 = 3 386 880.

1.16. В комнате имеется 7 стульев. Сколькими способами можно разместить на них 7 гостей? 3 гостя?

1.17. Студенты дают 5 экзаменов, в том числе 2 экзамена по математике. Сколькими способами можно распределить экзамены, но так, чтобы экзамены по математике следовали один за другим? Не следовали один за другим?

1.18. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове: а) СОЛНЦЕ; б) ТЕАТР; в) ЛИЛИ; г) SOS?

1.19. Сколькими способами можно упорядочить множество А = {8, 9, 10, 11, ..., 15} так, чтобы каждое четное число имело четный номер?

1.20. Составить различные сочетания по два из элементов множества А {3, 4, 5} и подсчитать их число

О Из трех элементов можно составить следующие три сочетания по два элемента: {3, 4}; {3, 5}; {4, 5}. Их число можно подсчитать к по формуле (3):

6.1.21. Владимир хочет пригласить в гости троих из семи своих лучших друзей. Сколькими способами он может выбрать приглашенных?

О Так как для Владимира важен только состав гостей (порядок роли не играет), то число способов выбора троих гостей из 7 можно найти по формуле сочетаний (3)

1.22. В вазе стоят 9 красных и 7 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из нее а) 3 гвоздики; б) б гвоздик одного цвета; в) 4 красных и 3 розовых гвоздики?

О а) Так как порядок выбора цветов не имеет значения то выбрать гвоздики из вазы, в которой стоят 16 гвоздик можно С способами по формуле (3) находим:

б) Выбрать 6 гвоздик красного цвета можно 84 способами, а 6 гвоздик розового цвета = 7 способами. По правилу сложения выбрать 6 гвоздик одного цвета (красных или розовых) можно способом.

в) Выбрать 4 красных гвоздики из 9 имеющихся можно С способами, а 3 розовых из имеющихся 7 можно С способами. Поэтому букет из 4 красных и 3 розовых гвоздик можно составить по правилу умножения способами

1.23. Сколькими способами можно разбить 8 предметов на две равные (по количеству предметов) группы?

1.24. Группа шахматистов сыграла между собой 28 партий. Каждые два из них встречались между собой один раз. Сколько шахматистов участвовало в соревновании?

1.25. Группа туристов из 12 юношей и 7 девушек выбирает по жребию 5 человек для приготовления ужина. Сколько существует способов, при которых в эту «пятерку» попадут:

а) одни девушки; б) 3 юноши и 2 девушки; в) 1 юноша и 4 девушки; г) 5 юношей?

1.26. Сколькими способами можно разбить 9 предметов на 2 группы (выбор одной группы однозначно определяет вторую)?

1.27. Пять авторов должны написать задачник по математике, состоящий из 14 глав. Два автора напишут по 2 главы два других по 3 и еще один 4 главы книги. Сколькими способами может быть распределен материал между авторами?

1.28. В ящике 15 деталей, среди которых 6 бракованных. Наудачу выбирается комплект из 5 деталей. Сколько всего комплектов, в каждом из которых 2 детали бракованные?

1.29. Из элементов (цифр) 2, 4, 5 составить все размещения и сочетания с повторениями по два элемента,

О Размещения с повторениями по два элемента таковы (2, 2); (2, 4); (2, 5); (4, 4); (4, 5); (4, 2); (5, 5); (5,2); (5,4). Их число можно вычислить и по формуле (4): .

Сочетания с повторениями по два элемента таковы (в отличие от размещений здесь порядок элементов в выборке не имеет значения, т е. например пары (2, 4) и (4, 2) не различаются): (2,2); (2, 4); (2, 5); (4, 4); (4, 5); (5, 5).. Их число можно вычислить и по формуле (5):

1.30. В магазине имеется 7 видов тортов. Сколькими способами можно составить набор, содержащий 3 торта? А если имеются 3 вида тортов, а нужен набор из 7 тортов?

О Поскольку порядок расположения торгов в наборе не играет роли, то искомое число наборов равно числу сочетаний с повторениями из 7 элементов по 3 в каждом. По формуле (5) имеем (см. также задачу 6.1.6).

Если имеется 3 вида тортов, а нужен набор из 7 тортов, то число возможных наборов равно

1.31. Пять человек вошли в лифт 1-м этаже девятиэтажного дома. Сколькими способами пассажиры могут выйти из лифта на нужных этажах?

О Каждый из 5 пассажиров может выйти на любом из восьми этажей со 2-го по 9-й включительно. Возможными вариантами их выхода являются, например 2—3—5—5—5 (это значит, что на 2-м этаже вышел один пассажир, на 3-м — один, а трое вышли на 5-м этаже) или 9—9—9—9—9 или 4—5—6—7—9, и т.д. Общее число выходов пассажиров, по формуле (4) равно

Этот же результат можно получить, используя правило умножения: для 1-го пассажира имеется 8 вариантов выхода на этаже, для 2-го тоже 8 и для 8-го — 8, и для 4-го – 8 и для 5-го — 8. Всего получается 8*8*8*8*8 = 8⁵ вариантов выхода 5-ти пассажиров.

1.32. Сколько различных слов (под «словом» понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове АГА? MISSISSIPPI?

О Вообще из трех букв можно составить Р₃ = 3! = 6 различных трехбуквенных слов. В слове АГА буква А повторяется, а перестановка одинаковых букв не меняет «слова». Поэтому число перестановок с повторениями меньше числа перестановок без повторений во столько раз, сколько можно переставлять повторяющиеся буквы. В данном слове две буквы (1-я и 3-я) повторяются; поэтому различных трехбуквенных «слов»

из букв слова АГА можно составить столько: = = З. Впрочем от нет можно получить и проще: каждое слопо из букв А, ГнА однозкач1о определяется положением буквы Г; их всего три поэтому и различных слов будет тоже три.

Пользуясь формулой (1.6) этот результат можно получить сразу:

Рз(2, 1) = = З.

По этой же формуле найдем число одиннадцатибуквенных слов при перестановке букв в слове МIЯ5IЗГРРI. Здесь н = 11 й = 1 п1 = 4 (4 буквы З) щ = 4 (4 буквы г) н4 = 2. поэтому

1.33. Сколькими способами можно разместить в двух комнатах 9 различных предметов?

1.34. Сколькими способами можно распределить 6 разных книг между 3 школьниками?

1.35. В почтовом отделении продаются открытки 6 видов. Сколькими способами можно приобрести в нем 4 открытки? 4 одинаковых открытки? 4 разных открытки?

1.36. Сколько различных букетов по 5 цветков в каждом можно составить, если в наличии есть достаточно много цветков четырех видов?

1.37. У врача есть 3 вида одного лекарства, 2 вида — другого и 4 вида—третьего. В течение девяти дней он каждый день предлагает больному по одному лекарству. Сколькими способами он может выделить больному лекарства?

1.38. Сколько существует различных перестановок букв в слове ТРАКТАТ? А в «слове» АААУУАУУУУ?

2. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД СОБЫТИЯМИ

Случайным событием (или просто: событием) называется такой исход опыта (испытания, эксперимента, наблюдения) который может произойти или не произойти.

События обозначаются, как правило, заглавными буквами латинского алфавита А, B, C,..

Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит в результате данного опыта; достоверное событие обозначается через Ω.

Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет в результате проведения опыта; невозможное событие обозначается через Ø.

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте; в противном случае события называются совместными.

События А₁, А₂, …, А_n называются попарно - несовместными, если любые два из них несовместны.

События А₁, А₂, …, А_n образуют полную группу, если они попарно несовместны и в результате каждого опыта происходит одно и только одно из них.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие (т. е. все события имеют равные шансы).

Суммой событий А и В называется событие С = А+В, которое происходит тогда и только тогда когда, происходит хотя бы одно из событий А и В (т е. или А или В, или оба вместе).

Произведением событий А и В называется событие С = А . В, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события А и В (т. е. и А и В вместе).

Разностью событий А и В называется событие С = А—В, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит В.

Событие А влечет событие В (или А является частным случаем), если из того, что происходит событие А, следует наступление события В; записывают это так: А В

Если А  В и В А, то события А и В называются равными; обозначается это следующим образом: А = В.

Противоположным событию А называется событие Ā , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А.