Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования Основные теоретические сведения

Определение. Ненулевой вектор , удовлетворяющий условию , называется собственным вектором преобразования . Число – собственное значение этого преобразования, причем собственный вектор соответствует собственному значению .

Между всеми линейными преобразованиями пространства и всеми квадратными матрицами порядка существует взаимно-однозначное соответствие, зависящее от выбранного в пространстве базиса . Говорят, что матрица , задает линейное преобразование в базисе , если

.

Определение. Определитель называется характеристическим многочленом матрицы :

,

а его корни – характеристическими корнями.

Характеристические корни линейного преобразования являются собственными значениями этого преобразования.

Примеры решения задач

Задача 1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:

1) .

Решение. Составим характеристическое уравнение или ; .

Собственные значения ; .

Найдем собственный вектор:

При .

Следовательно, решение этой системы ; . Собственный вектор .

Пусть , тогда собственный вектор .

При система примет вид

.

Решение системы: , . Собственный вектор при имеет вид .

Ответ. , ; ; .

2) .

Решение. Собственные значения – решения характеристического уравнения:

или , являются кратными: .

Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению . Решением системы уравнений

является ; ; , т.е. собственный вектор . При имеем или .

Ответ. ; .

3) .

Решение. Характеристическое уравнение:

,

разложением по третьему столбцу получим: , ; тогда при так как –

любое число, обозначим .

,

если , тогда , собственный вектор: .

4) .

Решение. Характеристическое уравнение для этой матрицы имеет вид:

.

Собственные числа ; . Для каждого составим систему:

: :

Решение первой системы: , , , , т.е. собственный вектор . Вторая система равносильна системе следовательно, ее решение: ; ; ; .. Собственный вектор – . При , собственные векторы примут вид , .

Ответ. ; ; , .

Задачи для самостоятельного решения

Найти собственные числа и собственные векторы матриц.

1.  .	2.  .
3.  .	4.  .
5.  .	6.  .
7.  .	8.  .
9.  .	10.  .

Ответы: 1. , ; , ; , .

2. , ; , .

3. , .

4. , ; , .

5. , ; , .

6. , .

7. , .

8. , ; , ; , .

9. , ; , .

10. , .

Квадратичные формы

Определение. Квадратичной формой называется многочлен

,

где – действительные постоянные, – переменные.

Матрица называется матрицей квадратичной формы.

Пример. Записать матрицу квадратичной формы

.

Решение. Диагональные элементы матрицы квадратичной формы равны коэффициентам при квадратах переменных, т.е. 1; 2; 5, а другие – половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы.

Перепишем ее в виде:

,

поэтому

.

Так как матрица симметрическая, то всякая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду. Коэффициенты – собственные значения матрицы.

Определение. Каноническим видом квадратичной формы называется

,

т.е. все при .

Квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду произвольными неособенными линейными преобразованиями переменных, например, способом Лагранжа. Таких преобразований бесконечно много. Однако хотя коэффициенты и не совпадают, число положительных и отрицательных коэффициентов одно и то же. В системе координат с ортонормированным базисом преобразования должны быть ортогональными.

В канонической квадратичной форме число коэффициентов , отличных от нуля, равно рангу квадратичной формы

.

Примеры решения задач

Задача 1. Методом Лагранжа (выделения полных квадратов) привести к каноническому виду квадратичную форму

.

Решение. Первое преобразование: , , . Тогда получим

.

Второе преобразование: ; ;

и форма принимает канонический вид:

, , .

Ответ. .

Задача 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.

Решение. Диагональные элементы матрицы квадратичной формы: 3, 2, 1, остальные элементы: ; ; . Составим характеристическое уравнение

;

;

или .

Корни: ; ; . Найдем собственные векторы

:

при ;

:

или ;

:

, .

Нормируем систему векторов , , ; ; ; .

Следовательно, , , .

Формулы преобразования координат:

, ,

.

Квадратичная форма: .

Ответ. , ,

, .

Задача 3. Привести к каноническому виду квадратичную форму:

.

Решение. Характеристическое уравнение

,

, .

Решение характеристического уравнения: ; . Канонический вид: .

Найдем матрицу ортогонального преобразования

:

, ; ;

: .

, так как

Корень кратности два, следовательно, этому собственному значению соответствуют два собственных вектора. Первый выбираем произвольно. Пусть ; , , тогда .

Второй выбираем так, чтобы , т.е. .

, ,

– любое; , , .

Матрица преобразования:

.

Формулы преобразования координат:

;

; .

Подставляем в исходную матрицу квадратичную форму:

.

Ответ. .

Задачи для самостоятельного решения

Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичные формы:

1.  ;

2.  ;

3.  ;

Ответ: 1) ;

2) ;

3) .

Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие формы к каноническому виду, и написать этот канонический вид:

4.  .

Ответ. ,

5.  .

Ответ. ,

6.  .

Ответ. ,

7.  .

Ответ. ,