- •Определители. Свойства определителей Основные теоретические сведения
- •Основные свойства определителей
- •Приведение определителя к треугольному виду
- •Решение систем уравнений с помощью определителей (по формулам Крамера) Основные теоретические сведения
- •Матрицы. Операции над матрицами Основные теоретические сведения
- •Операции над матрицами
- •Многочлены от матриц
- •Обратная матрица
- •Решение систем алгебраических уравнений методом гаусса Основные теоретические сведения
- •Метод Гаусса. Схема с выбором главного элемента
- •Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования Основные теоретические сведения
- •Квадратичные формы
- •Кривые и поверхности второго порядка Основные теоретические сведения
- •Список литературы
- •Оглавление
Приведение определителя к треугольному виду
Определитель вида называется треугольным (все элементы ниже главной диагонали равны нулю)
.
Треугольный определитель равен произведению элементов главной диагонали.
Определитель, в котором все элементы ниже побочной диагонали, равны нулю, изменением порядка столбцов на обратный сводится к треугольному:
При вычислении иногда удобно, используя свойства определителей 1-6, привести его к треугольному виду и найти произведение элементов главной диагонали.
Решение систем уравнений с помощью определителей (по формулам Крамера) Основные теоретические сведения
Система двух уравнений с двумя неизвестными:
, |
|
, , – определитель системы.
Определитель – определитель, полученный заменой столбца при неизвестном на столбец свободных членов.
Формулы Крамера: ; .
Формулы Крамера , справедливы для систем линейных уравнений с неизвестными при условии, что .
Если , система имеет единственное решение: .
Если , то система имеет множество решений (эти решения будем искать методом Гаусса).
Если и хотя бы один из определителей , , отличен от нуля, то система не имеет решений (несовместна).
Решение систем из двух уравнений с тремя неизвестными:
Пусть , тогда систему можно решать по формулам Крамера.
Решение системы запишем в виде:
; ; .
Для запоминания порядка коэффициентов при неизвестных нарисуем такую “вертушку”:
Для неизвестного – в определители записываем коэффициенты при и ; для неизвестного – двигаясь по часовой стрелке, коэффициенты при и ; для неизвестного – коэффициенты при и .
Примеры решения задач
Задача 1. Вычислить определители:
а)
;
б) ;
в) .
Задача 2. Вычислить определитель следующими способами:
а) по правилу треугольников:
;
б) разложением по первой строке (по определению):
;
в) разложением по второму столбцу:
.
Задача 3. Вычислить, используя свойства определителей:
а)
;
б)
;
в)
.
Задача 4. Вычислить определитель Вандермонда и выяснить, при каких значениях , , этот определитель равен нулю:
.
Определитель равен нулю при равенстве какой-либо пары чисел из , , .
Задача 5. Доказать, что
а) .
Решение.
;
б) .
Решение.
.
Задача 6. Решить уравнение:
а) .
Решение.
, , по теореме Виета: , ;
б) .
Решение.
, , , по теореме Виета: , ;
в) .
Решение. При определитель равен нулю при любых . Если , то
,
, .
Или, преобразуя определитель и складывая первую строку со второй и третьей, получаем
, .
Задача 7. Привести определитель к треугольному виду и вычислить:
1) .
Решение. Используя свойство линейности, вычтем первую строку из второй, прибавим первую строку к третьей, вычтем первую строку, умноженную на 2, из четвертой
.
2) .
Решение.
.
Задача 8. Вычислить определитель разложением по первой строке (по определению) и какому-либо ряду:
.
а) вычисление определителя разложением по первой строке:
;
б) вычисление определителя по первому столбцу:
.
Задача 9. Вычислить определители:
а) ; б) .
Решение:
а) применим разложение по четвертой строке:
.
б) .
Заметим, что первая и третья строки пропорциональны, поэтому .
Задача 10. Решить системы:
1)
Решение.
Определитель данной системы: отличен от нуля, следовательно, она имеет единственное решение:
, .
Таким образом, ; ;
2)
Решение.
Составим определитель системы и вычислим его:
.
Определитель , следовательно, формулы Крамера применимы.
Вычислим остальные определители:
; ;
; .
Итак, ; ; ;
. Проверить постановкой в любое уравнение системы.
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить определители:
1. . |
2. . |
3. . |
4. . |
5. . |
6. . |
7. . |
8. . |
9. . |
10. . |
Ответ: 1. 144; 2. 1; 3. ; 4. ; 5. –117; 6. 144; 7. 0; 8. –155; 9. ; 10. 1.
Решить систему уравнений:
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
|
Ответ: 1. ; 2. Система несовместна; 3. Система несовместна; 4. ; 5. , , ; 6. , , ;7. .