Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра23.doc

Скачиваний:

Добавлен:

16.11.2019

Размер:

3.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Матрицы. Операции над матрицами Основные теоретические сведения

Определение 1. Матрица – прямоугольная таблица чисел, имеющая строк и столбцов. Обозначения:

или или ,

где , , – элементы матрицы.

Матрицы обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита: , где , ;

Матрица, состоящая из одной строки, т.е. , называется матрицей-строкой, а из одного столбца, т.е. , матрицей-столбцом.

Определение 2. Матрицы называются равными, если имеют одинаковую размерность и их соответствующие элементы равны, т.е. .

Определение 3. Если , матрицу называют квадратной. В квадратной матрице элементы составляют главную диагональ, а побочную.

Нулевая матрица – матрица, все элементы которой равны нулю:

Диагональная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, кроме стоящих на главной диагонали равны нулю.

Единичная матрица – диагональная матрица, все элементы главной диагонали равны единице.

Треугольная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону главной диагонали, равны нулю.

Трапециевидная (треугольно-ступенчатая) матрица имеет вид:

Противоположная матрица (не обратная !)

Операции над матрицами

Сложение (только для матриц одинаковой размерности): если и , то , где .

Примечание. Аналогично определяется сумма конечного числа матриц одинаковой размерности.

Умножение матрицы на число (или числа на матрицу): если , – число, то , где .

Умножение матриц. Матрицу будем называть согласованной с матрицей , если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы (или длина строки матрицы равна высоте столбца матрицы ). Из согласованности с не следует согласованность с . Произведение возможно только в случае согласованности матрицы с матрицей : , где .

Замечание. Если матрицу можно умножить на , т.е. существует произведение , то это не значит, что существует произведение (в общем случае ).

Если , то матрицы называются коммутативными (перестановочными, коммутирующими).

Произведение двух ненулевых матриц может быть нулевой матрицей (для произведения чисел этого быть не может), например,

Многочлены от матриц

Целой положительной степенью квадратной матрицы называется .

Пусть дан многочлен Если есть нулевая матрица, то называется корнем .

Обратная матрица

Матрица называется обратной к матрице , если где единичная матрица.

Минор матрицы – определитель матрицы, полученной из элементов, стоящих на пересечении произвольно выбранных строк и столбцов. Обозначение: М. Минор называется дополнительным к минору М и состоит из оставшихся после вычеркивания -й строки и -го столбца элементов. Это понятие применяется к квадратной матрице.

Алгебраическое дополнение .

Невырожденной называется квадратная матрица , если

Теорема. Для того чтобы существовала обратная матрица к квадратной матрице , необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной.

Если ,

то обратная матрица имеет вид

где алгебраические дополнения элементов .

Обратную матрицу можно найти и с помощью элементарных преобразований:

Определение 4. Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров матрицы, отличных от нуля. Обозначение: , .

Примеры решения задач

Задача 1. Умножить матрицу на число .

Решение. .

Задача 2. Дано: , . Найти и .

Решение.

каждый элемент умножили на число 2. При умножении определителя на число умножаем на это число какой-либо ряд:

и т.д. В первом случае умножим на 2 первую строку, во втором – второй столбец, в третьем – третий столбец.

Задача 3. Найти произведения , , , , , , , если они существуют:

Решение. Проверим согласованность матриц , , .

Для : , длина строк матрицы не равна высоте столбца матрицы , следовательно, матрицы перемножать нельзя.

Для : матрицы согласованы, получим матрицу размерности :

Для – матрицы согласованы, в результате получим матрицу размерностью :

Для : – произведение не существует.

Для матрицы согласованы :

Заметим, что элементы матрицы произведения получаются при перемножении -й строки матрицы на -й столбец матрицы :

, .

Для : квадратичная матрица всегда согласована с квадратичной матрицей той же размерности

Задача 4. Дано: , . Найти .

Решение.

, .

Таким образом, – матрицы коммутативны.

Задача 5. Показать, что является корнем многочлена .

Решение.

так как получили нулевую матрицу, матрица является корнем многочлена .

Задача 6. Найти определитель произведения матрицы А= на транспонированную .

Решение.

Пусть , тогда

и ,

Задача 7. Найти обратную матрицу, если она существует:

а) , б) .

Решение.

а) , матрица вырожденная, так как и обратной матрицы не имеет;

б) , Найдем алгебраические дополнения

, , ;

алгебраическое дополнение первой строки запишем в первый столбец обратной матрицы: .

Ищем алгебраическое дополнение второй строки:

, , ; .

Ищем алгебраическое дополнение третьей строки:

, ,

;

Матрицы порядка больше удобнее искать с помощью элементарных преобразований.

Найдем другим способом – с помощью элементарных преобразований:

По определению , тогда:

В результате элементарных преобразований получим в левой части равенства единичную матрицу. Преобразования должны проводиться одновременно над левой и правой частью равенства: