Лабораторная работа № 6 Модели транспортного типа

Цель: приобрести навыки в использовании настройки Поиск решения с условием максимизации или минимизации целевой функции.

Под термином «транспортные задачи» понимается широкий круг задач не только транспортного характера. Общим для них является, как правило, распределение ресурсов, находящихся у n производителей (поставщиков), по m потребителям этих ресурсов.

На автомобильном транспорте наиболее часто встречаются следующие задачи, относящиеся к транспортным:

     прикрепление потребителей ресурса к производителям;

     привязка пунктов отправления к пунктам назначения;

     взаимная привязка грузопотоков прямого и обратного направлений;

     отдельные задачи оптимальной загрузки промышленного оборудования;

     оптимальное распределение объемов выпуска промышленной продукции между заводами-изготовителями и др.

Рассмотрим экономико-математическую модель прикрепления пунктов отправления к пунктам назначения.

Имеются n пунктов отправления груза O₁, O₂, ..., O_m, где ожидают отправления запасы грузов объемом a₁, a₂, ..., a_n соответственно. Известна потребность в грузах b₁, b₂,...,b_m по каждому из m пунктов назначения H₁, H₂, ..., H_m. Задана также матрица стоимостей с_ij, (i = 1,2,...,n, j = 1,2,...,m) доставки груза из пункта O_i в пункт H_j. Необходимо рассчитать оптимальный план перевозок, т. е. определить, сколько груза x_ij должно быть отправлено из каждого пункта отправления (от поставщика) в каждый пункт назначения (до потребителя) с минимальными суммарными транспортными издержками.

В общем виде исходные данные представлены в табл. 6.1.

Транспортная задача называется закрытой, если суммарный объем отправляемых грузов равен суммарному объему потребности в этих грузах по пунктам назначения.

Таблица 6.1

Транспортная таблица

Пункты наз-начения Пункты отправления	H1	H2	…	Hm	Запасы (предложения в пунктах отправления)
O1	С11 Х11	С12 Х12	…	С1m Х1m	a1
O2	С21 Х21	С22 Х22	…	С2m Х2m	a2
….	…	…	…		…
Om	Сn1 Хn1	Сn2 Хn2	…	Сnm Хnm	an
Заказы (спрос на грузы в пунктах назначения)	b1	b2	…	bm	…

Если такого равенства нет (потребности выше запасов или наоборот), задачу называют открытой.

В зависимости от того, совпадают или нет суммарные объемы грузов в пунктах отправления и пунктах назначения, различают три типа транспортных задач.

     Если сумма Σa_i  грузов в пунктах отправления равна сумме Σb_j ожидаемых грузов в пунктах назначения, то такая транспортная задача называется сбалансированной.

     Если Σa_i < Σb_j, то это несбалансированная задача с дефицитом.

     Если Σa_i > Σb_j, то это несбалансированная задача с избытком.

Для написания математической модели закрытой транспортной задачи необходимо все условия (ограничения) и целевую функцию представить в виде математических соотношений. Все грузы из i-х пунктов (поставщики) должны быть отправлены.

Все j-е пункты (потребители) должны быть обеспечены грузами в плановом объеме.

Из экономических соображений должно выполняться также условие неотрицательности переменных.

Перевозки необходимо осуществить с минимальными транспортными издержками. Уравнение баланса является обязательным условием решения закрытой транспортной задачи, поэтому, когда в исходных условиях дана открытая задача, то ее необходимо привести к закрытой форме. В случае, если:

  потребности по пунктам назначения превышают запасы пунктов отправления, то вводится фиктивный поставщик с недостающим объемом отправления;

  запасы поставщиков превышают потребности потребителей, то вводится фиктивный потребитель с необходимым объемом потребления.

Варианты, связывающие фиктивные пункты с реальными, имеют нулевые оценки. После введения фиктивных пунктов задача решается как закрытая.

В соответствии с транспортной таблицей удельные стоимости перевозок и переменные решения удобно записать в виде матрицы стоимостей С и матрицы решений Х:

Целевая функция, которую следует минимизировать, записывается так:

Z = C₁₁X₁₁ + C₁₂X₁₂ + … + C_1mX_1m + C₂₁X₂₁ + C₁₂X₁₂ + … + + C_2mX_2m + … + C_n1X_n1 + C_n2X_n2 +…+ C_nmX_nm.

Ограничения для сбалансированной задачи приведены ниже.

1. Сумма грузов, отправленных из любого пункта отправления, должна равняться запасу грузов в этом пункте отправления:

х₁₁ + х₁₂ + … + х_1m = а₁;

х₂₁ + х₂₂ + … + х_2m = а₂;

_{………………………………..}

Х_n1 + х_n2 + … + х_nm = а_n.

2. Сумма грузов, полученных в любом пункте назначения, должна равняться объему грузов, заказан­ных в этом пункте назначения:

х₁₁ + х₂₁ + … + х_n1 = b₁;

х₁₂ + х₂₂ + … + х_n2 = b₂;

_{………………………………..}

Х_1m + х_2m + … + х_nm = b_m.

В соответствии с транспортной таблицей левые части ограничений первой группы – это суммы элементов матрицы X по строкам, кото­рые равны соответствующим значениям правого столбца этой табли­цы. Аналогично левые части ограничений второй группы – суммы элементов матрицы X по столбцам, которые равны числам нижней строки таблицы.

Ограничения для задачи с дефицитом приведены ниже.

1. Сумма грузов, отправленных из любого пункта отправления, должна равняться запасу грузов в этом пункте отправления:

х₁₁ + х₁₂ + … + х_1m = а₁;

х₂₁ + х₂₂ + … + х_2m = а₂;

_{………………………………..}

Х_n1 + х_n2 + … + х_nm = а_n.

2. Сумма грузов, полученных в любом пункте назначения, меньше объема грузов, заказан­ных в этом пункте назначения:

х₁₁ + х₂₁ + … + х_n1 ≤ b₁;

х₁₂ + х₂₂ + … + х_n2 ≤ b₂;

_{………………………………..}

Х_1m + х_2m + … + х_nm ≤ b_m.

Ограничения для задачи с избытком приведены ниже.

1. Запас грузов в пункте отправления больше суммы грузов, отправленных из любого пункта отправления:

х₁₁ + х₁₂ + … + х_1m ≤ а₁;

х₂₁ + х₂₂ + … + х_2m ≤ а₂;

_{………………………………..}

Х_n1 + х_n2 + … + х_nm ≤ а_n.

2. Сумма грузов, полученных в любом пункте назначения, равна объему грузов, заказан­ных в этом пункте назначения:

х₁₁ + х₂₁ + … + х_n1 = b₁;

х₁₂ + х₂₂ + … + х_n2 = b₂;

_{………………………………..}

Х_1m + х_2m + … + х_nm = b_m.

Транспортным задачам присущи следующие особенности:

      распределению подлежат однородные ресурсы;

      условия задачи описываются только уравнениями;

      все переменные выражаются в одинаковых единицах измерения;

      во всех уравнениях коэффициенты при неизвестных равны единице;

      каждая неизвестная встречается только в двух уравнениях системы ограничений.

Транспортные задачи могут решаться симплексным методом. Однако перечисленные особенности позволяют для транспортных задач применять более простые распределительные методы решения.

Наиболее распространенным методом решения транспортных задач является метод потенциалов.

Решение задачи методом потенциалов включает следующие этапы:

     разработку начального плана (опорного решения);

     расчет потенциалов;

     проверку плана на оптимальность;

     поиск максимального звена неоптимальности;

     составление контура перераспределения ресурсов;

     определение минимального элемента в контуре перераспределения и перераспределение ресурсов по контуру;

     получение нового плана.

Описанная процедура повторяется несколько раз (итераций), пока не будет найдено оптимальное решение. Вычислительный алгоритм для каждой итерации не меняется.

Для транспортной задачи существует несколько методов отыскания начального плана (опорного решения):

 метод северо-западного угла;

 метод минимальной стоимости;

 метод двойного предпочтения и т. д.

Решение с помощью транспортной таблицы. Одним из способов решения транспортных задач является решение с помощью таблицы.

На практике подобные задачи решаются, конечно же, при помощи различного программного обеспечения, что позволяет значительно упростить работу и сэкономить время.

Рассмотрим, как это можно сделать в среде электронных таблиц Microsoft Excel на примере следующей задачи.

Задание 1.  Компания «Прибой» хранит свою готовую продукцию на трех складах (первом, втором и третьем), расположенных в разных частях города. На этих складах хранится продукция в количе­ствах 1000, 3000 и 2500 шт. соответственно. Продукцию необходимо доставить четырем оптовым покупателям П1, П2, ПЗ, П4, заявки кото­рых составляют 1300, 800, 2700 и 1700 шт. соответственно. Склады оптовых покупателей также расположены в разных частях города. Стоимость (в рублях) доставки одной штуки продукции со складов компании на склады покупателей показана в табл. 6.2.

Таблица 6.2

Транспортные расходы

№ склада компании	Оптовый покупатель
	П1	П2	ПЗ	П4
1	50	150	60	75
2	100	30	100	40
3	70	180	210	120

Важно отметить, что данная задача сбалансирована, т. е. запасы товара и потребность в нем равны. В этом случае не нужно учитывать издержки, связанные как со складированием, так и с недопоставками. В противном случае в модель нужно ввести:

– в случае превышения объема запасов – фиктивного потребителя; стоимость перевозок единицы продукции этому фиктивному потребителю полагается равной стоимости складирования, а объемы перевозок этому потребителю равны объемам складирования излишков продукции у поставщиков;

– в случае дефицита – фиктивного поставщика; стоимость перевозок единицы продукции от фиктивного поставщика полагается равной стоимости штрафов за недопоставку продукции, а объемы перевозок от этого поставщика равны объемам недопоставок продукции потребителям.

Решение. Для решения данной задачи построим ее математическую модель. Неизвестными здесь являются объемы перевозок. Пусть x_ij – объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю. Функцией цели являются суммарные транспортные расходы. Кроме того, неизвестные должны удовлетворять следующим ограничениям:

– неотрицательности объема перевозок;

– в силу сбалансированности задачи вся продукция должна быть вывезена от поставщиков и потребности всех потребителей должны быть удовлетворены.

В соответствии с введенными переменными целевая функция запишет­ся следующим образом:

Z = C₁₁X₁₁ + C₁₂X₁₂ + … + C_1mX_1m + C₂₁X₂₁ + C₁₂X₁₂ + … + C_2mX_2m + + … + C_n1X_n1 + C_n2X_n2 + … + C_nmX_nm.

Данную целевую функцию следует минимизировать.

Ограничения для складов компании имеют следующий вид:

х₁₁ + х₁₂ + х₁₂ + х₁₄ = 1000;

х₂₁ + х₂₂ + х₂₃ + х₂₄ = 800;

х₃₁ + х₃₂ + х₃₃ + х₃₄ = 2500.

Записываем ограничения для складов покупателей

х₁₁ + х₂₁ + х₃₁ = 1300;

х₁₂ + х₂₂ + х₃₂ = 800;

х₁₃ + х₂₃ + х₃₃ = 2700;

х₁₄ + х₂₄ + х₃₄ = 1700.

Выполним следующую подготовительную работу для решения транспортной задачи с помощью средства Поиск решения в табличном процессоре Microsoft Excel.

1.  Создадим исходную таблицу. Матрица стоимостей располагается в диапазоне В5:Е7, а матрица перевозок – в диапазоне В11:Е13 (рис. 6.1). Матрица перево­зок содержит переменные решения, они пока равны 1.

Матрицу перевозок обрамляют столбец и строка с заголовка­ми Всего, где подсчитываются суммы переменных соответственно по строкам и столбцам матрицы перевозок. Это значения левых частей ограничений. Правые части ограничений содержатся в столбце Имеется на складе (ограничения для складов компании) и в строке Необходимо (ограничения для складов покупателей).

В табличной модели есть еще она таблица (матрица) (рис. 6.2), показыва­ющая стоимость каждой перевозки (ячейки В19:Е21) и суммарные стоимости перевозок от каждого склада компании (ячейки Р19:Р21) и до каждого склада покупателей (диапазон В22:Е22).

Рис. 6.1. Матрица стоимостей и матрица перевозок

Рис. 6.2. Матрица затрат на перевозку

Значения в ячейках В19:Е21 вычисляются как произведения удельных стои­мостей перевозок и количеств перевезенных грузов по каждому маршруту. Например, в ячейке В19 записана формула =В5В11. Эта формула скопирована во все остальные ячейки диапазона В19:Е21. Суммарные стоимости перевозок для складов вычисляются как сум­мы значений этой таблицы или по строкам (для складов компании), или по столбцам (для складов покупателей). Например, в ячейке F20 записана формула =СУММ(В20:Е20), а в ячейке С22 формула =СУММ(С19:С21). Матрица в режиме формул приведена на рис. 6.3.

С помощью этой матрицы удобно вычислять целевую функцию – она равна сумме всех значений диапазона В19:Е21 либо суммам значений диапазонов F19:F21 и В22:Е22. На рис. 6.3 значе­ние целевой функции в ячейке F22 вычисляется по формуле =СУММ(F19:F21). Если бы не было этой таблицы, то целе­вую функцию надо было бы вычислять по формуле

=СУММПРОИЗВ(В5:Е7;В11:Е13).

Запускаем средство Поиск решения. В одноимен­ном диалоговом окне задаем адрес целевой ячейки F22, устанавли­ваем переключатель минимальному значению, указываем адрес диа­пазона изменяемых ячеек В11:Е13, задаем ограничения. После этих манипуляций диалоговое окно должно выглядеть так, как показано на рис. 6.4.

Рис. 6.3. Матрицы в режиме формул

Рис. 6.4. Диалоговое окно Поиск решений

 В диалоговом окне Параметры поиск решения не забыва­ем установить флажки Линейная модель, Неотрицательные значения и Автоматическое масштабирование. Наконец, в диалоговом окне Поиск решения щелкаем на кнопке Выполнить и получаем решение, показан­ное на рис. 6.5.

В соответствии с полученным решением со склада № 1 компании надо перевезти весь имеющийся там груз (в объеме 1000 шт.) на склад покупателя ПЗ (ячейка D11), при этом затраты на транспорти­ровку составят 60 тыс. руб. (ячейка D19). Со склада № 2 следует 800, 1700 и 500 шт. продукции отправить на склады покупателей П2, ПЗ и П4 соответственно (ячейки С12:Е12), затраты на перевозку соста­вят 24,170 и 20 тыс. руб. (ячейки С20:Е20). Со склада № 3 1300 шт. продукции отправятся на склад покупателя П1 (ячейка В13) при за­тратах 91 тыс. руб. (ячейка В21) и 1200 шт. поедут на склад покупа­теля П4 (ячейка Е13) при затратах 144 тыс. руб. (ячейка Е21). Общая стоимость всех перевозок составит 509 тыс. руб. (значение целевой функции в ячейке F22).

Рис. 6.5. Решение сбалансированной транспортной задачи

 Рекомендуемая литература: [14, 16, 17].