Запишем уравнение (3.10) относительно ошибки системы
. (4.1)
Найдем уравнения фазовых траекторий. С этой целью перепишем уравнение (4.1) в виде двух уравнений первого порядка
;
(4.2)
(4.3)
Разделим (4.2) на (4.3)
(4.4)
Проинтегрируем выражение (4.4), получим
откуда
= -T0 x+T0 k0 u ln k0 u+x +C. (4.5)
Уравнение (4.5) определяет семейство фазовых траекторий, каждая из которых зависит от начального значения ошибки.
22
Определим
постоянную интегрирования С
из начальных условий
и
и перепишем (4.5)
.
(4.6)
Требуется
перевести С
– часть из положения
при
t0
=0
в положение
,
за минимальное время.
Решение уравнения (3.10) приводит к одному нулевому и одному отрицательному вещественному корню, т.е. алгоритм управления будет состоять из двух интервалов управления.
Определим моменты переключения t1 и отключения t2 оптимального управляющего воздействия.
Решение (3.10) на втором интервале управления
,
(3.11)
где
(знак «минус» показывает, что второй
интервал отрицательный); 
-
постоянные интегрирования на втором
интервале;
p
= 1
/
T0
– корень
характеристического уравнения.
Используя
условия на конец управления при
,
получим систему уравнений:
(3.12)
Из системы (3.12) находим:
(3.13)
Решение (3.10) на первом интервале управления
(3.14)
где
;
- постоянные интегрирования на первом
интервале.
С
учетом начальных условий при
получим:
(3.15)
11
Из системы (3.15) находим
(3.16)
Стыкуем решения в момент переключения t1:
(3.17)
Подставим (3.13) и (3.16) в (3.17), получим уравнения для определения моментов переключения:
.
(3.18)
Из второго уравнения системы (3.18) получим:
(3.19)
Подставим (3.19) в первое уравнение системы (3.18), запишем
(3.20)
Преобразуем
(3.20), умножив левую и правую части на
,
получим:
.
(3.21)
Введем
обозначение
,
запишем:
(3.22)
Подставим в (3.22) численные значения коэффициентов, получим:
12
Рассчитанный переходный процесс оптимальной по быстродействию системы с уравнением С – части вида (3.23) представлен на рис. 3.5.
Переходный процесс для замкнутого контура допускается построить путем моделирования на ПЭВМ на основе разработанной в п. 3.4.1 структурной схемы.
3.5. Выбор элементов и построение электрической функциональной схемы контура оптимизации
Техническая реализация оптимального алгоритма (3.8) с учетом рассчитанных интервалов управления и моментов переключения осуществляется на основе серийных микроэлектронных элементов и ограничивается разработкой электрической функциональной схемы.