2.3.2 Законы алгебры логики

1. Законы коммутативности:

a  b = b  a, a  b = b  a.

2. Законы ассоциативности:

a  (b  с) = (а  b)  с, a  (b  с) = (а  b)  с.

3. Законы дистрибутивности:

a  (b  с) = (а  b)  (а  с), a  (b  с) = (а  b)  (а  с).

4. Законы идемпотентности:

а = a  а, a = а  a.

5. Законы нуля и единицы:

a   а = 0, а  1 = а, a   а = 1, а  0 = а.

6. Законы де Моргана:

 (a  b) =  a   b,  (a  b) =  a   b.

7. Законы поглощения:

a  (а  b) = а, a  (a  b) = а.

8. Законы склеивания:

(а   b)  (а  b) = а, (а   b)  (а  b) = а.

9. Закон двойного отрицания:

  а = а.

Не все законы независимы друг от друга. Так, например, закон идемпотентности можно получить из закона поглощения с использованием законы дистрибутивности:

а = a  (а  b) = (a  а)  (а  b) = (a  (а  b))  (a  (а  b)) = а  а.

Закон поглощения может быть выведен из закона нуля и единицы:

a  (а  b) = (a  1)  (а  b) = a  (1  b) = a  1 = а.

Закон идемпотентности относительно дизъюнкции непосредственно выводится из законов нуля и единицы:

a  а = (a  а)  1 = (а  а)  ( а  а) = а  ( а  а) = а  0 = а.

При доказательствах логических выражений нужно всегда учитывать принцип двойственности. Так, вышеперечисленная цепочка равенств для закона поглощения может быть представлена следующим образом:

a  (а  b) = (a  0)  (а  b) = a  (0  b) = a  0 = а.

Т.о. в качестве независимой системы законов можно выбрать законы: коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, нуля и единицы.

2.3.3 Разложения функций по переменным

Разложение Шеннона

Введем следующие обозначения:

х⁰ =  х; х¹ = х.

Пусть  - параметр, равный 0 или 1.

Тогда: х^ = 1, если х = ;

х^ = 0, если х  .

Теорема Шеннона: всякая логическая функция F (х₁, … ,х_n) может быть представлена в виде:

F (х₁, … , х_m, х_m+1, … , х_n) = x₁^1… x_m^m F (₁, … , _m, х_m+1, … , х_n), (2.1)

где m  n, а дизъюнкция берется по всем 2^m наборам значений переменных х₁, … , х_m.

Это равенство называется разложением по переменным х₁, … , х_m.

{Пример: n = 4, m = 2.

Разложение будет иметь вид:

F (х₁, х₂ , х₃ , х₄) =  х₁  х₂ F (0, 0 , х₃ , х₄)   х₁ х₂ F (0, 1 , х₃ , х₄) 

 х₁  х₂ F (1, 0 , х₃ , х₄)  х₁ х₂ F (1, 1 , х₃ , х₄).

Доказательство.

Производим подстановкой в обе части (2.1) произвольного набора (₁, … , _m, _m+1, …, _n) всех n переменных.

Т.к. х^ = 1 только тогда, когда х = , то среди 2 ^m конъюнкций x₁^1… x_m^m правой части (2.1) в единицу обратится только одна, в которой ₁ = ₁, … , _m = _m. Все остальные конъюнкции равны 0. Поэтому получим:

F (₁, … , _n) = ₁^1… _m^m F (₁, … , _m, _m+1, … , _n) = F (₁, … , _n).

Особое значение на практике имеет случай, когда m = n, т.е. разложение функции n переменных по n переменным:

F (х₁, … ,х_n) = x₁^1… x_n^n.

Т.е. все переменные в правой части (2.1) получают фиксированное значение и функции в конъюнкциях правой части становятся равными 0 или 1. Т.о. дизъюнкция берется по всем наборам (₁, … , _n), на которых F = 1. Такое разложение называется СДНФ – совершенной дизъюнктивной формой функции F. СДНФ содержит ровно столько конъюнкций, сколько единиц в таблице истинности для F. Каждому единичному набору (₁, … , _n) соответствует конъюнкция всех переменных, в которой х_i взято с отрицанием, если _i = 0, и без отрицания, если _i = 1. Такие конъюнкции называются конституентами единицы.}

Двойственное разложение Шеннона

Суть состоит в том, что в формуле, описывающей функцию, можно одновременно произвести следующие замены:

  , 0  1,  х  х,   , 1  0, х   х.

Т.о. F (х₁, … ,х_n) = x₁^1… x_n^n = = x₁^1 …  x_n^n

СДНФ СКНФ

и тем самым получим СКНФ – совершенную конъюктивную нормальную форму функции F. СКНФ содержит ровно столько дизъюнкций, сколько нулей в таблице истинности для F. Каждому нулевому набору (₁, … , _n) соответствует дизъюнкция всех переменных, в которой х_i взято без отрицания, если _i = 0, и с отрицанием, если _i = 1. Такие дизъюнкции называются конституентами нуля.

Переход от табличной формы представления /логической функции к аналитической

Всякую логическую функцию можно представить в виде СДНФ и СКНФ. Причем у каждой булевой функции может быть только по одной СДНФ и СКНФ.

Таблица 2.10 – Функция 3-х переменных

х1 х2 х3	F	конституента 1	конституента 0
0 0 0	0		х1  х2  х3
0 0 1	1	 х1  х2 х3
0 1 0	1	 х1 х2  х3
0 1 1	0		х1   х2  х3
1 0 0	0		 х1  х2  х3
1 0 1	1	х1  х2 х3
1 1 0	1	х1 х2  х3
1 1 1	0		 х1   х2   х3

Отсюда переходим к аналитическим выражениям логической функции:

СДНФ: F =  х₁  х₂ х₃   х₁ х₂  х₃  х₁  х₂ х₃  х₁ х₂  х₃,

СКНФ: F = (х₁  х₂  х₃) (х₁   х₂  х₃) ( х₁  х₂  х₃) ( х₁   х₂   х₃).

Примечание: функция, для которой не существует СДНФ – константа 0, функция, для которой не существует СКНФ – константа 1.