- •Дискретная математика
- •6.050102 “Компьютерная инженерия” содержание
- •1 Теория множеств 7
- •2 Математическая логика 15
- •3 Формальные теории 35
- •4 Теория графов 47
- •5 Элементы теории чисел 80
- •6 Теория алгоритмов 121
- •Введение
- •1 Теория множеств
- •1.1 Множества и подмножества
- •1.1.1 Элементы множества
- •1.2 Аксиомы теории множеств
- •1.3 Способы задания множеств
- •1.4 Операции над множествами
- •1.5 Элементы алгебры множеств
- •1.5.1 Определение алгебры множеств
- •1.5.2 Основные законы алгебры множеств
- •1.5.3 Принцип двойственности
- •2 Математическая логика
- •2.1 Функции алгебры логики (булевые функции)
- •2.1.1 Способы задания булевых функций
- •2.1.2 Логические функции одной переменной
- •2.1.3 Логические функции двух переменных
- •2.2.6 Функционально полные системы булевых функций
- •2.3 Алгебра буля
- •2.3.1 Определение алгебры. Теорема Стоуна
- •2.3.2 Законы алгебры логики
- •2.3.3 Разложения функций по переменным
- •2.3.4 Приведение логических функций
- •2.3.5 Импликанты и имплициенты булевых функций
- •2.3.6 Методы минимизации логических функций
- •2.4 Алгебра жегалкина
- •2.4.1 Преобразование функций в алгебре Жегалкина
- •2.4.2 Переход от булевой алгебры к алгебре Жегалкина
- •3 Формальные теории
- •3.1 Основные принципы построения формальных теорий исчисления
- •3.2 Определение исчисления высказываний
- •3.2.1 Метатеоремы исчисления высказываний
- •3.2.2 Схемы исчисления высказываний
- •3.3 Исчисление предикатов
- •3.3.1 Определение формальной теории pl
- •3.3.2 Принцип резолюции в исчислении предикатов
- •3.3.3 Схемы доказательств в исчислении предикатов
- •4 Теория графов
- •4.1 История теории графов
- •4.2 Основные определения
- •4.3 Способы представления графов
- •4.3.1 Матрицей смежности
- •4.3.2 Матрицей инцидентности
- •4.4 Пути в графах
- •4.4.1 Задача о кратчайшем пути
- •4.4.2 Алгоритм Дейкстры нахождения кратчайшего пути в графе
- •4.5 Транспортные сети
- •4.5.1 Потоки в транспортных сетях
- •4.5.2 Задача нахождения наибольшего потока в транспортной сети
- •4.5.3 Алгоритм Форда и Фалкерсона нахождения максимального потока транспортной сети
- •4.5.4 Транспортная задача
- •4.6 Обходы в графах
- •4.6.1 Эйлеровы графы
- •4.6.2 Алгоритм Флёри нахождения эйлерова цикла
- •4. Если получился цикл, но не ейлеров, то отбрасываем данную последнюю вершину и повторяем пункт 2.
- •4.6.3 Гамильтоновы циклы
- •4.6.4 Метод ветвей и границ.
- •4.6.5 Метод ветвей и границ в задаче о коммивояжёре
- •4.7 Деревья
- •4.7.1 Построение экономического дерева
- •4.7.2 Алгоритм Краскала
- •5 Элементы теории чисел
- •5.1 Модулярная арифметика
- •5.1.1 Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя
- •5.1.2 Вычисление обратных величин
- •5.1.3 Основные способы нахождения обратных величин
- •5.1.4 Китайская теорема об остатках
- •5.2 Кодирование
- •5.2.1 Оптимальное кодирование
- •5.3 Обнаружение и исправление ошибок
- •5.3.1 Общие понятия
- •5.3.2 Линейные групповые коды
- •5.3.2 Код Хэмминга
- •5.3.3 Циклические коды
- •5.3.4 Построение и декодирование конкретных циклических кодов
- •5.4 Сжатие информации
- •5.4.1 Исключение повторения строк в последующих строках
- •5.4.2 Алгоритм lzw
- •6 Теория алгоритмов
- •6.1. Основные понятия
- •6.1.1 Основные требования к алгоритмам
- •6.1.2 Блок–схемы алгоритмов
- •6.1.3 Представление данных
- •6.1.4 Виды алгоритмов
- •6.1.5 Правильность программ
- •6.1.6 Эффективность алгоритмов
- •6.1.7 Сходимость, сложность, надежность
- •6.2 Универсальные алгоритмы
- •6.2.1 Основные понятия
- •6.2.2 Машины Тьюринга
- •6.2.3 Рекурсивные функции
- •6.2.5 Тезис Черча-Тьюринга
- •6.2.6 Проблема самоприменимости
- •6.3 Языки и грамматики
- •6.3.1 Общие понятия
- •6.3.2 Формальные грамматики
- •6.3.3 Иерархия языков
- •6.4 Параллельные вычисления
- •Рекомендованная литература
Рекомендованная литература
Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. - М.: Энергоатомиздат, 1988. - 480с.
Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. - СПб.: Питер, 2001. - 304 с.
3.Донской В.И. Дискретная математика. - Симферополь.:Сонат,2000.-360 с.
4.Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. - М.: Наука, 1975.- 240 c.
Грэй П. Алгебра, логика и базы данных: Пер. с англ. - М.: Машиностроение, 1989. - 260 с.
Акимов О.Е. Дискретная математика. Логика, группы, графы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 376 с.
Иванов Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. – 288 с.
Кэррол Л. История с узелками: Пер. с англ. - М.: Мир, 1973. - 408 c.
Оре.О. Теория графов: Пер. с англ. – М.: Наука, 1968. – 310 с.
Форд Л., Фалкерсон Д. Потоки в сетях: Пер. с англ. – М.: Мир, 1966. – 288с.
Ахо А., Хопкрофт Д., Ульман Д. Структуры данных и алгоритмы: Пер. с англ. – М.: Вильямс, 2000. – 382 с.
К. Шеннон. Работы по теории информации и кибернетике. – М.: Ин. лит., 1963. - 654 с.
А. М. Яглом, И. М. Яглом. Вероятность и информация. – М.: Наука, 1973. – 512 с.
И. В. Кузьмин., В. А. Основы теории информации и кодирования. – К.: В. Шк., 1986. – 218 с.
В. П. Цымбал. Теория информации и кодирования. К.: В. Шк., 1992. – 224с.
Романец Ю.В., Тимофеев П. А., Шаньгин В.Ф. Защита информации в компьютеных системах и сетях. - М.: Радио и связь, 1999. – 328 с.
Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М. Современная математика. М.: Мир, 1966.
Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973.
Трахтенброт Б.А., Бардзинь Я.М. Конечные автоматы (Поведение и синтез). М.: Наука, 1970.
Берж К. Теория графов и её применения. М.: Изд. иностр.литературы, 1962.
Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование. Теория, методы и приложения. М.: Наука, 1969.
Донован Дж. Системное программирование. М.: Мир, 1975.
Клини С.К. Математическая логика. М.: Мир, 1973.
Минский М. Вычисления и автоматы. М.: Мир, 1971.
Трахтенброт Б.А. Алгоритмы и вычислительные автоматы. М.: Сов. радио, 1974.