4.3 Способы представления графов

Задать граф — значит описать множества его вершин и ребер, а также от­ношения инцидентности.

4.3.1 Матрицей смежности

Матрица смежности - это квадратная матрица , столбцам и строкам которой соответствуют вершины графа. Для неориентированного графа равно количеству ребер, инцидентных и вершинам, для ориентирован­ного графа этот элемент матрицы смежности равен коли­честву ребер с началом в вершине и концом в . Таким образом, матрица смежности неориентированного графа симметрична.

Две вершины называются смежными, если есть дуга, которая их связывает.

Матрица смежности описывается системой:

Таблица 4.1– Матрица смежности графа на рисунке 4.3

a b c d e

a 1 0 0 0 0

b 0 0 0 0 0

c 0 1 0 1 1 = R

d 0 0 1 0 0

e 0 0 0 1 0

4.3.2 Матрицей инцидентности

Матрица называется матрицей инцидентности, где

- количество вершин, - количество дуг: i= , j= .

определяется таким образом:

-1, если дуга выходит из вершины;

= 1, если дуга входит в вершину;

0, если дуга не инцидентна вершине

Таблица 4.2 – Матрица инцидентности графа на рисунке 4.3

1 2 3 4 5 6 7

a 1/-1 0 0 0 0 0 0

b 0 1 0 0 0 0 0

c 0 -1 1 -1 -1 0 0

d 0 0 -1 1 0 1 0 = S

e 0 0 0 0 1 -1 0

f 0 0 0 0 0 0 0

g 0 0 0 0 0 0 -1

h 0 0 0 0 0 0 1

4.4 Пути в графах

4.4.1 Задача о кратчайшем пути

Формулировка задачи:

В ориентированном взвешенном графе G = (X,U) найти кратчайший путь из начальной вершины s в конечную вершину t.

Считаем, что отсутствующие в графе дуги имеют вес равный ∞ (максимальное целое число).

Для графа с неотрицательными весами дуг, т.е. , один из алгоритмов нахождении кратчайшего пути предложил Е. Дейкстра в 1959г.

На каждой итерации этого алгоритма всякая вершина графа получает метку , которая может быть постоянной либо временной. В первом случае - вес кратчайшего -пути. Если метка - временная, то - вес кратчайшего - пути, проходящего только через вершины с постоянными метками. Временная метка является оценкой сверху для веса кратчайшего -пути, и став на некоторой итерации постоянной, она остаётся такой до конца работы алгоритма.

Кроме , с каждой вершиной графа , за исключением , связывается ещё одна метка - . На каждой итерации является номером вершины, предшествующей в - пути, имеющем минимальный вес среди всех - путей, проходящих через вершины получивших к данному моменту постоянные метки. После того, как вершина получила постоянную метку, с помощью меток легко указать последовательность вершин, составляющих кротчайший - путь.

Перед началом первой итерации алгоритма вершина имеет постоянную метку , а метки всех остальных вершин равны и эти метки временные. Общая итерация алгоритма состоит в следующем. Пусть - вершина, получившая постоянную метку на предыдущей итерации. Просматриваем все вершины , имеющие временные метки, с целью уменьшения этих меток. Метка вершины заменяется на , если оказалось, что . В этом случае говорим, что вершина получила свою метку из вершины , и полагаем . Если же , то метки и вершины не изменяются на данной итерации. Алгоритм заканчивает работу, когда метка становится постоянной. - вес кротчайшего - пути, который будем обозначать через . Этот путь определяется с помощью меток так: .

Будем считать, что граф задан матрицей весов либо списками смежности.