§ 7. Смешанное произведение трех векторов
Определение. Число [ , ] – называют смешанным произведение упорядоченной тройки векторов , , .
Обозначаем: ( , , ) = = [ , ] .
Так как в определении смешанного произведения участвуют векторное и скалярное произведения, то их общие свойства являются свойствами смешанного произведения.
Например, ( ) = ( ).
Теорема 1. Смешанное произведение трех компланарных векторов равно нулю.
Доказательство. Если данная тройка векторов , , компланарная, то для векторов выполняется одно их следующих условий.
В данной тройке векторов есть хотя бы один нулевой вектор. В этом случае доказательство теоремы очевидно.
В данной тройке векторов есть хотя бы одна пара коллинеарных векторов. Если || , то [ , ] = 0, так как [ , ]= . Если
|| , то [ , ] и [ , ] = 0. Аналогично, если || .
Пусть данная тройка векторов компланарная, но случаи 1 и 2 не выполняются. Тогда вектор [ , ] будет перпендикулярным плоскости, которой параллельны все три векторы , , .
Следовательно, [ , ] и ( , , ) = 0.
Теорема 2.
Пусть в базисе {
}
заданы векторы
(
),
(
),
(
).
Тогда
(
,
,
)
=
.
Доказательство. Согласно определению смешанного произведения
(
,
,
)
= [
,
]
=
с1
–
с2
+
с3
=
.
В силу свойств определителя имеем:
= −
=
.
Теорема доказана.
Теорема 3. ( , , ) = [ , ].
Доказательство. Так как
( , , ) = ,
а в силу свойств определителя имеем:
=
,
то
( , , ) = = = [ , ] = [ , ].
Теорема доказана.
Теорема 4. Модуль смешанного произведения некомпланарной тройки векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на представителях данных векторов с общим началом.
Доказательство. Выберем произвольную точку О и откладываем от нее представители данных векторов , , : , . В плоскости ОАВ построим параллелограмм ОАDB и, добавляя ребро ОС, построим параллелепипед ОАDBCADB. Объём V этого параллелепипеда равен произведению площади основания ОАDB на длину высоты параллелепипеда ОО.
Площадь параллелограмма ОАDB равна |[ , ]|. С другой стороны
|OO| = | | |cos |, где – угол между векторами и [ , ].
Рассмотрим модуль смешанного произведения :
|( , , )| = | [ , ] | = |[ , ]|| ||cos | = |[ , ]||OO| = V.
Теорема доказана.
Замечание 1. Если смешанное произведение тройки векторов равно нулю, то эта тройка векторов линейно зависимая.
Замечание 2. Если смешанное произведение данной тройки векторов положительно, то тройка векторов правая, а если отрицательно, то тройка векторов левая. Действительно, знак смешанного произведения совпадает со знаком cos , а величина угла определяет ориентацию тройки , , . Если угол – острый, то тройка правая, а если – тупой угол, то тройка левая.
Пример 1. Дан
параллелепипед ABCDA1B1C1D1
и координаты следующих векторов в
ортонормированном базисе:
(4;
3; 0),
(2;
1; 2),
(–3;
–2; 5).
Найти: 1) объем параллелепипеда;
2) площади граней ABCD и CDD1C;
3) косинус двугранного угла между плоскостями ABC и CDD1.
Решение.
Данный параллелепипед построен на векторах
Таким образом, его объем равен модулю смешанного произведения этих векторов, т.е.
(куб.ед.)
Итак, Vпар = 12 куб.ед.
Напомним, что площадь параллелограмма равна длине векторного произведения векторов, на которых он построен.
Т.о.
.
Введем обозначение:
,тогда
Следовательно,
(6;
– 8; – 2), откуда
.
Т.о.
кв.ед.
Аналогично,
Пусть
,
тогда
,
откуда
(15;
– 20; 1) и
Значит
кв.ед.
Введем следующие обозначения: пл. (АВС)= , пл. (DCC1)=
.
.
Согласно определению векторного произведения имеем:
и
.
А значит справедливо следующее равенство:
.
Из второго пункта решения имеем:
.
тогда
.
Итак,
Пример 2.
Доказать, что если
,
,
– взаимно перпендикулярные единичные
векторы, то для любых векторов
и
справедливо
равенство:
.
(1)
Решение.
Пусть в ортонормированном
базисе
,
,
заданы координаты векторов:
;
.
Так как
,
,
,
то по свойству смешанного произведения
имеем:
,
,
.
Таким образом,
равенство (1) можно записать в следующей
форме:
,
а это одно из доказанных свойств
векторного произведения векторов
и
.
Тем самым справедливость равенства
(1) доказана.