§ 5. Скалярное произведение векторов
Определение 1. Под углом между ненулевыми векторами и понимаем угол из промежутка [0, ] между представителями этих векторов, отложенных от одной точки.
Угол между
векторами
и
считаем
неопределенным, если хотя бы один из
векторов нулевой
( иногда его считают
равным нулю или
).
Определение 2. Под скалярным произведением двух ненулевых векторов и понимаем число, равное произведению их длин на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то под их скалярным произведением понимаем число 0.
Обозначаем : или ( , ).
Итак,
= | || | cos .
Следствие 1. 2 = | |2 .
Следствие 2. Пусть и ненулевые векторы. Если их скалярное произведение равно нулю, то они перпендикулярны. Верно и обратное утверждение.
Пусть в базисе {
}
заданы векторы
(
),
(
),
(
).
Свойство 1.
=
.
Д
A
B
В
( − )2 = 2 + 2 - 2| || | cos =
= 2 + 2 – 2( , ).
Отсюда находим
(
,
)
=
(
2
+
2
−
(
-
)2).
Ранее мы получили формулу | | = для вычисления длины вектора, которую применим к полученному равенству:
(
,
)
=
(
+
-
((
)
и
= .
Свойство 2. = .
Доказательство. Согласно свойству 1 имеем:
= ,
=
.
Правые части равны, так как произведение действительных чисел обладает свойством коммутативности. Поэтому и левые части рассматриваемых равенств равны, то есть = . Свойство доказано.
Свойство 3. ( , ) = ( , ) = ( , ).
Докажем, например, равенство: ( , ) = ( , ).
Так как
= ,
то
(
,
)
= (
)
=
= (
,
).
Свойство 3 доказано.
Свойство 4. ( , + ) = ( , ) + ( , ).
Доказательство.
(
,
+
)
=
=
= (
(
=
= (
+
=
= (
,
)
+ (
,
).
Свойство 3 доказано.
Пример 1. В
пространстве дан четырехугольник ABCD
и известны координаты векторов
,
,
.
Доказать, что его диагонали взаимно
перпендикулярны.
Решение.
Для решения задачи достаточно показать
перпендикулярность векторов
и
.
Так как
=
+
,
=
+
,
то находим координаты этих векторов:
,
(6,−4,0).
Находим скалярное произведение в
координатной форме:
= 66 + 9(−4) +(−3) 0 = 0.
Следовательно, и диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.
Пример 2.
Выразить квадрат длины медианы треугольника через длины его сторон.
Решение.
Рассмотрим в данном треугольнике ABC
медиану
BB1.
В
ведем
обозначения:
=
,
=
,
=
,
=
.
Тогда справедливо следующее равенство:
=
(
).
Возведем обе части данного равенства в квадрат (скалярно):
(1)
Воспользуемся равенством:
.
После возведения обеих его частей скалярно в квадрат получим:
.
(2)
Тогда из равенств (1) и (2) вытекает следующее равенство:
.
Учитывая следствие 1, последнее равенство можно записать следующим образом:
,
т.е.
,
где
,
=
|BC|,
b =
|AC|,
=
|AB|.
Пример 3.
Дан треугольник
.
Отрезок
–
его высота.
Выразить вектор
через векторы
и
.
Решение.
Так как векторы
и
неколлинеарные, то они представляют
собой базис двумерного векторного
пространства. Введем обозначение:
.
По правилу треугольника:
(1)
и, при этом,
.
(2)
Из равенства (1) и (2) получаем:
.
(3)
Осталось найти число
.
В силу ортогональности векторов
и
,
имеем:
.
(4)
Из
равенств (3) и (4) получаем:
,
т. е.
или
,
откуда
.
(5)
Учитывая, что
,
равенство (5) можно записать следующим
образом:
.
(6)
Тогда из равенств (3) и (6) находим вектор :
.
Для дальнейшего изложения нам необходимы некоторые сведения из курса алгебры.