Координатные свойства векторов
1.Каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых векторов.
2.При умножении вектора на число его координаты умножаются на это же число.
Доказательство
свойства 1.
Пусть в базисе {
1,
2,
3
} имеем
(
)
и
(
).
Рассмотрим
+
= (
1+
2+
3)
+ (
1+
2+
3).
Воспользовавшись свойствами сложения
векторов и умножения вектора на число,
раскрываем скобки и группируем слагаемые
по базисным векторам. При этом получим
+ = ( + ) 1 + ( + ) 2 + ( + ) 3.
Следовательно, + ( + , + , + ).
Свойство доказано.
Доказательство свойства 2. Пусть в базисе { 1, 2, 3 } имеем ( ) и некоторое число . Если = 0, то = и = 0, = 0, = 0. Свойство 2 справедливо. Если 0, то имеем:
= ( 1+ 2+ 3) = 1+ 2+ 3,
то есть
( , , ).
Свойство доказано.
Замечание. Доказанное свойство 1 можно доказать и для любого конечного числа слагаемых.
При решении задач,
связанных с вычислением длин векторов,
величины углов мы будем пользоваться
так называемым ортонормированным
базисом. Этот базис мы обозначаем {
},
и при этом выполняются следующие
условия: длины векторов
равны единице, сами векторы попарно
перпендикулярны и образуют так называемую
правую тройку (см. § 6 ).
Теорема 4. Пусть в базисе { } задан вектор ( ). Тогда
|
|
=
.
Доказательство. Согласно теореме 3 имеем единственное разложение
=
+
+
.
Выберем произвольно
точку О и от нее откладываем векторы:
=
,
=
,
=
,
=
+
+
.
При этом получим прямоугольный
параллелепипед с ребрами ОА, ОВ, ОС и
диагональю ОМ, |OA|
=|
|,
|OB|
=|
|,
|ОС| = |
|,
|OM|
=
=
.
Теорема доказана.
Пример1.
Дан ортонормированный
базис
В этом базисе задан вектор
Найти координаты вектора
,
который коллинеарен вектору
и имеет длину, равную 5.
Решение.
Из
коллинеарности векторов
и
следует, что существует единственное
число
0, такое что
.
Так как
(–1; -2; 2), то координаты вектора
будут соответственно равны
(
)
Из условия, что длина вектора равна 5, получаем следующее равенство: , откуда
9
2
=25,
2
=
,
или
.
Последнее означает, что задача имеет два решения:
,
.
Пример 2.
Треугольник АВС построен на векторах (0,-3,4) и
(2,-1,2) в ортонормированном
базисе
.
Найти координаты вектора, параллельного биссектрисе угла ВАС.
Решение.
Построим вектора
и
такие,
что:
и
,
причем
.
На данных
векторах построим ромб
.
Диагональ
AD
ромба
лежит на биссектрисе угла
.
Следовательно, вектор
параллелен
биссектрисе угла
и, при этом,
=
+
(1).
Из построения векторов и получаем следующие равенства:
=
и
=
.
Из последних равенств и равенства (1) следует, что
=
+
.
Так как
и
,
то
=5
+3
,
откуда
(10;−14;22).
Так как вектор
параллелен
биссектрисе угла
,
то и вектор
(5,−7,11)
будет параллельным
этой биссектрисе. Любой другой вектор
,
параллельный
биссектрисе угла
,
будет иметь координаты
где
Таким образом, решением является вектор где
Пример 3.
Дан параллелепипед
.
Точки
и
- середины соответственно ребер
и
.
В качестве базисных векторов взяты
векторы
,
,
.
Найти координаты векторов
,
и
в данном базисе.
Решение.
1)
(1),
(2),
,
откуда
(3).
Из равенств (1), (2),
(3) следует, что
.
Используя свойства
коммутативности и ассоциативности
операции сложения векторов, получаем
следующее равенство:
.
Следовательно,
.
2)
,
откуда получаем:
.
3)
(1),
,
откуда
(2),
, откуда (3).
Из равенств (1), (2) и
(3) имеем:
.
Следовательно,
,
откуда
.