Линейная зависимость векторов

Определение 2. Система векторов ₁, ₂, …, _n (1) называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор действительных чисел ₁, ₂, …, _n и при этом выполняется равенство: _{1 1} + _{2 2} + … + _{n n} = . (2)

Определение 3. Система векторов ₁, ₂, …, _n (1) называется линейно независимой, если равенство _{1 1} + _{2 2} + … + _{n n} = выполняется только в единственном случае, когда все числа ₁, ₂, …, _n равны нулю.

Определение 4. Вектор называется линейной комбинацией векторов (1), если существует набор действительных чисел ₁, ₂, …, _n и при этом выполняется равенство: = _{1 1} + _{2 2} + … + _{n n} .

Свойство 1. Если в системе (1) есть хотя бы один нулевой вектор, то система векторов (1) линейно зависимая.

Действительно, не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что ₁ = . Тогда ненулевой набор чисел 1, 0, 0, . . . , 0 дает нам равенство (2): 1 + 0 ₂ + … + 0 _n = , что требовалось доказать.

Свойство 2. Если часть системы векторов (1) линейно зависимая, то и вся система векторов (1) линейно зависимая.

Действительно, не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что первые к (к < n) векторов системы (1) линейно зависимые. Тогда существует ненулевой набор действительных чисел ₁, ₂, …, _к и при этом выполняется равенство: _{1 1} + _{2 2} + … + _{к к} = .

Если к данному набору чисел мы добавим (n – к) нулей, то получим ненулевой набор n действительных чисел ₁, ₂, …,_к, 0,…,0 и при этом выполняется равенство (2): _{1 1} + _{2 2} + …+ _{к к} + 0 _к+1 +…+ 0 _n = , что требовалось доказать.

Свойство 3. Если один из векторов системы (1) является линейной комбинацией остальных векторов системы, то вся система векторов (1) линейно зависимая.

Действительно, не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что ₁ = _{2 2} + … + _{n n}. Из этого равенства следует, что существует ненулевой набор действительных чисел: 1, ₂, …, _n и при этом выполняется равенство (2). Свойство доказано.

Свойство 4. Если системы векторов (1) линейно независимая, то и любая ее часть линейно независимая.

Действительно, предположим противное, что какая – то часть векторов системы (1) линейно зависимая. Тогда, в силу свойства (2) вся система векторов (1) линейно зависимая, что противоречит условию. Следовательно, предположение неверно. Свойство доказано.

Определение 4. Система векторов ₁, ₂, …, _n называется компланарной, если существует плоскость, которой они параллельны.

§ 4. Координаты вектора. Векторные пространства v1, v2, v3

Обозначим множество всех векторов V₃. Выберем ненулевой вектор и рассмотрим все векторы коллинеарные с . Обозначим полученное множество векторов V₁. Выберем в пространстве V₃ два неколлинеарных вектора ₁ и ₂ и рассмотрим все векторы пространства, компланарные с ₁ и ₂. Обозначим полученное множество векторов V₂.

Из построения следует, что в пространстве V₃ существует множество подпространств V₁ и V₂.

Рассмотрим пространство V_1. Назовем базисом пространства V₁ ненулевой вектор этого пространства. Обозначим его . Рассмотрим произвольный вектор  V₁. Докажем, что всегда существует единственное число х, такое, что = х .

Теорема 1. Пусть дано пространство V₁ и ненулевой вектор  V₁. Тогда для любого вектора  V₁ существует единственное число х, такое, что = х .

Доказательство. Действительно, если = , то х = 0. Если  , то полагаем х = , если  и х =  , если  . Покажем, что рассматриваемое равенство верно, то есть = , если  и =  , если  . Действительно,

| | = | | = | | и | | =| |.

Равенство длин рассматриваемых векторов доказано. Сонаправленность этих векторов очевидна. Следовательно, существование числа х доказано.

Докажем единственность разложения. Предположим, что верны два равенства = х и = х₁ . Вычтем из первого равенства второе. Получим:

(х – х₁) = .

Если выражение в скобке не равно нулю, то получим = , что противоречит условию. Следовательно, х = х₁.

Теорема доказана.

Число х называем координатой вектора в базисе { } и обозначаем (х).

Следствие. Любые два коллинеарных вектора образуют линейно зависимую систему векторов.

Рассмотрим пространство V_2. Назовем базисом пространства V₂ пару неколлинеарных векторов этого пространства. Обозначим его ₁, ₂ . Рассмотрим произвольный вектор  V₂. Докажем, что всегда существуют единственная пара чисел х, у такая, что = х ₁ + у ₂.

Теорема 2. Пусть дано пространство V₂ и базис ₁, ₂. Тогда для любого вектора  V₂ существует единственная пара чисел х, у такая, что = х ₁ + у ₂.

Доказательство. Выберем произвольно точку О и от нее откладываем векторы: = ₁, = ₂ и = . При этом полученные точки О, А, В и М лежат в одной плоскости. Построим параллелограмм с диагональю ОМ и смежными сторонами, лежащими на прямых ОА и ОВ. Обозначим построенный параллелограмм ОА′МВ.

При этом имеем :

 + = , = х ₁,  = у ₂ (теорема 1) и, соответственно,

= х ₁ + у ₂.

Докажем единственность разложения. Предположим, что верны два равенства = х ₁ + у ₂ и = х_{1 1} + у_{1 2}. Вычтем из первого равенства второе. Получим:

(х – х₁) ₁ +(у – у₁) ₂ = .

Если хотя бы одно выражение в скобках не равно нулю, например, у – у₁  0, то получим

₂ = - .

Получили, что векторы ₁ и ₂  коллинеарные, что противоречит условию. Следовательно, х = х₁, у = у₁. Теорема доказана..

Числа х, у называем координатами вектора в базисе { ₁, ₂} и обозначаем ( х, у).

Следствие. Любая тройка компланарных векторов образует линейно зависимую систему векторов и наоборот.

Рассмотрим пространство V_3. Назовем базисом пространства V₃ тройку некомпланарных векторов этого пространства. Обозначим ее ₁, ₂, ₃ . Рассмотрим произвольный вектор  V₃. Докажем, что всегда существуют единственная тройка чисел х, у, z такая, что = х ₁ + у ₂ +z ₃.

Теорема 3. Пусть дано пространство V₃ и базис ₁, ₂, ₃. Тогда для любого вектора  V₃ существует единственная тройка чисел х, у, z такая, что = х ₁ + у ₂ +z ₃.

Доказательство. Выберем произвольно точку О и от нее откладываем векторы: = ₁, = ₂, = ₃ и = . Построим параллелепипед с диагональю ОМ₁ и смежными сторонами, лежащими на прямых ОЕ₁, ОЕ₂ и ОЕ₃. Обозначим построенный параллелепипед ОАМВО₁А₁М₁В₁. При этом имеем :

+ + = , = х ₁, = у ₂ , = z ₃ (теорема 1) и, соответственно,

= х ₁ + у ₂ +z ₃.

Докажем единственность разложения. Предположим, что верны два равенства = х ₁ + у ₂ +z ₃ и = х_{1 1} + у_{1 2} +z_{1 3} . Вычтем из первого равенства второе. Получим:

(х – х₁) ₁ +(у – у₁) ₂ + (z - z₁) ₃ = .

Если хотя бы одно выражение в скобках не равно нулю, например, у – у₁  0, то получим

₂ =  -

Получили, что векторы ₁ , ₂ и ₃ - линейно зависимы, а, следовательно, компланарные, что противоречит условию.

Поэтому, х = х₁, у = у₁ = z – z₁, Теорема доказана.

Числа х, у, z называем координатами вектора в базисе { ₁, ₂, ₃ } и обозначаем ( х, у, z).