§ 3. Умножение вектора на число. Линейная зависимость векторов
Определение 1. Под произведением действительного числа на вектор понимаем новый вектор , который удовлетворяет следующим требованиям:
1). Если = 0 или = , то = .
2). Если 0 и , то вектор задаем следующими условиями:
а) | | = || | |,
б) , если > 0 и , если < 0.
Обозначаем: = .
Свойства операции умножения вектора на число
1. 1 = , –1 = – .
2. ( ) = () .
3. ( + ) = + .
4. ( + ) = + .
Для доказательства свойств воспользуемся простым фактом: два вектора равны, если равны их длины и они сонаправлены.
Доказательство свойства1. 1. Если = , то по определению операции умножения вектора на число получим, что правый вектор и левый вектор нулевые. Следовательно, равенство верно.
2. Покажем, что 1 = . Рассмотрим вектор 1 . Его длина по определению равна |1 | = |1| | | = | |. С другой стороны, длина вектора также равна | |. Следовательно, длины рассматриваемых векторов равны. Так как мы умножаем вектор на положительное число 1, то 1 . Рассматриваемые вектора 1 и имеют одинаковую длину и одно направление. Следовательно, они равны. Вторая часть свойства 1 также верна, так как длины рассматриваемых векторов равны |–1 | = |–1| | | = | | и |– |= | |, и их направления одинаковы: –1 , – – то есть, они противоположно направлены одному и тому же вектору.
Свойство 1 доказано.
Доказательство свойства 2. Покажем, что ( ) = () . (1)
Для этого рассмотрим несколько случаев. 1. Пусть одно из чисел или равно нулю. Тогда по определению операции умножения вектора на число получаем, что и левый вектор и правый вектор равны нулевому вектору, то есть равенство (1) верно. Аналогично, если = , то равенство (1) также верно.
2. Пусть числа и – одного знака. Например, они отрицательные.
Тогда
, ( ) .
Следовательно,
( ) .
С другой стороны, () , так как > 0.
Таким образом,
( ) () .
Для длин рассматриваемых векторов, независимо от знаков рассматриваемых чисел и , в силу определения операции умножения вектора на число, имеем:
|( )| = |||( )| = ||||| |,
|() | = ||| | = ||||| |.
Таким образом, рассматриваемые векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Следовательно, равенство (1) верно.
Аналогично рассмотреть случай, когда числа и - положительные.
3. Пусть числа и – разного знака. Например, > 0 , < 0.
Тогда
, ( ) .
Следовательно,
( ) .
С другой стороны, () , так как < 0.
Таким образом,
( ) () .
Аналогично рассмотреть случай, когда числа < 0 и > 0.
Таким образом, рассматриваемые векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Следовательно, равенство (1) верно и в этом случае. Свойство 2 доказано.
Доказательство
свойства 3:
(
+
) =
+
.
Если
= 0 или хотя бы один из векторов нулевой,
то свойство (3), очевидно, выполняется.
Поэтому рассматриваем ненулевые
варианты. Выберем произвольно точку
О и от нее откладываем вектор
=
,
а от точки А откладываем вектор
=
.
При этом получили
+
=
.
Итак,
=
+
.
Рассмотрим гомотетию с центром О и
коэффициентом .
Пока считаем, что
> 0.
Пусть при
рассматриваемой гомотетии:
Тогда треугольники ОАВ и ОА`В` имеют попарно параллельные стороны.
При этом
=
,
=
,
=
=
(
+
)
и
+ = . Отсюда получаем равенство
( + ) = + .
Если < 0, то сначала рассмотрим равенство
||( + ) = || +| | ,
а затем умножив обе части этого равенства на (– 1), получим:
–||( + ) = –|| –| |
или
( + ) = + .
Свойство 3 доказано.
Доказательство свойства 4: ( + ) = + .
Доказательство распадается на несколько отдельных случаев. 1. > 0 и > 0. В этом случае и равенство ( + ) = + верно.
2. Если < 0 и < 0, то, в силу первого случая, будет верным следующее равенство
(|| + ||) = || + || .
Умножая это равенство на (1) получим равенство
(|| ||) = || || ,
а, следовательно, и равенство
( + ) = + .
3. Здесь мы должны рассмотреть случай, когда и разных знаков. При этом можно считать, что > 0, а < 0. Но мы должны учесть два различных случая: > || и < || .
Рассмотрим, например, случай > ||. Тогда + > 0. Очевидно числовое равенство: + + || = . Согласно первому случаю, выполняется равенство
(( + )+||) = ( + ) + ||
или
= ( + ) + || .
Отсюда получим
( + ) = − || ,
а, следовательно, и равенство
( + ) = + .
Аналогично рассматривается случай < ||.
Свойство 4 доказано.
Пример 1.
Дан треугольник АВС и произвольная
точка О пространства. М – точка
пересечения медиан треугольника АВС
(ее называют центром тяжести треугольника).
Доказать, что
.
Доказательство.
Рассмотрим медиану АК треугольника
АВС.
Тогда, в силу свойств
медианы имеем:
.
С другой стороны,
,
,
,
.
Следовательно,
.
Находим:
(
.
.
Пример 2. В трапеции АВСD с основаниями ВС и AD точки M и N являются серединами оснований, точка О – точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны. Доказать, что точки О, М, N лежат на одной прямой.
Решение.
Рассмотрим векторы
и
.
Для того , чтобы доказать, что точки О,
М, N
лежат на одной прямой достаточно
доказать, что
||
.
Так как
точки M
и N
– середины оснований, то справедливы
следующие равенства:
M
(1),
(2).
Из подобия
треугольников
и
с коэффициентом подобия k
следует, что
(3) и
(4).
Из равенств (2), (3) и (4) получаем следующее равенство:
.
Следовательно,
,
откуда
,
а это означает, что точки O,
M,
N
лежат на одной прямой.