Свойства операции сложения векторов
Свойство коммутативности: + = +
Выберем произвольную
точку О и от нее откладываем оба вектора
и
.
При этом получим представители этих
векторов
и
на которых построим параллелограмм
ОАСВ. Так как
=
,
то
+
=
.
С другой стороны,
=
и
+
=
.
Следовательно, + = + . Свойство доказано.
A
Свойство ассоциативности: ( + ) + = + ( + )
Выберем произвольную
точку О и от нее откладываем вектор
=
,
а затем по правилу треугольника
=
и
=
.
A
Так как
=
+
,
то получим (
+
)
+
=
.
С другой стороны, так как
=
+
,
то
+ (
+
)
=
.
Следовательно, свойство доказано.
Доказанное свойство позволяет нам складывать любое конечное число векторов, причем при записи этой суммы опускать скобки (так называемое правило многоугольника).
A
В дальнейшем нам
понадобится понятие противоположного
вектора для заданного вектора. Если
задан вектор
=
,
то вектор
называют противоположным вектору
и обозначают его
.
При этом:
+
=
.
3.
На множестве
векторов уравнение
+
=
(1) имеет единственное решение.
Действительно, в левой и в правой части равенства (1) мы имеем векторы, поэтому прибавим к каждому из них слева вектор ( ), то есть вектор противоположный вектору . Получим:
+ ( + ) = + .
Согласно ассоциативному и коммутативному свойствам сложения векторов получим:
( + ) + = +( ),
+ = +( ),
= +( ).
Следовательно, свойство доказано.
Определение. Решение уравнения (1) называется разностью векторов и , и обозначается: .
Следовательно,
= + ( ).
Согласно свойству 3 получаем правило нахождения разности двух векторов:
=
+
(
).
Рассмотрим правило параллелограмма сложения двух векторов. При доказательстве свойства 1 мы построили параллелограмм ОАСВ и, при этом,
+ = + = .
Тогда
= ,
так как
+
(
)
= (
)
+
=
.
Пример 1. Дан параллелограмм АВСD и точка пересечения его диагоналей О. Сколько векторов задают данные точки А, В, С, D, О.
Решение.
В
С
О
О
А
D
Ранее мы нашли 25 направленных отрезков , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . Векторов мы получим меньшее число, так как среди рассматриваемых направленных отрезков есть эквиполлентные направленные отрезки.
=
,
,
…,
=
,
,
…,
=
,
,
…,
=
,
,
…,
=
,
,
…,
=
,
,
…,
=
,
…,
=
,
…,
=
,
,
…,
=
,
,
…,
=
,
…,
=
,
…,
=
,
,
,
,
….
Итого 13 векторов.
Пример 2.
Пользуясь
параллелограммом, построенном на
представителях
векторов
и
,
проверить на чертеже справедливость
тождества:
.
Решение.
По условию
,
.
Обозначим левую часть тождества
,
правую
.
Покажем, что
.
По правилу параллелограмма
,
тогда
.
Таким образом,
.
(1)
Так как
,
то
,
откуда
.
(2)
Из равенств (1) и (2) следует, что . Тождество доказано.