Розв’язування. Застосувавши першу підстановку до слова х, одержимо слово

Y=1321445,

а, застосувавши другу підстановку, одержимо слово

Y=132144.

Розглянуті підстановки називаються, звичайними підстановками. При побудові алгоритмів в алгоритмічних системах передбачено обов’язкова присутність операції закінчення алгоритму.

У теорії нормальних алгоритмів роль такої операції виконує заключна підстановка виду

А.В,

після застосування якої алгоритмічний процес зупиняється (при цьому символ “.” - не входить до алфавіту U).

Застосування операції підстановки не можливе без іншої операції - операції входження.

Операція входження має вигляд

АХ,

де символ “” не входить до алфавіту U. Це предикат, значенням якого може бути “хиба” - 0 або “істина” - 1. Операція входження визначає можливість застосування операції підстановки АВ до слова Х.

Означення 1. Нормальним алгоритмом називається скінченна послідовність операцій входження і відповідних їм операцій підстановок, виконання яких призводить до розв’язування поставленої задачі в деякому абстрактному алфавіті.

Необхідною умовою можливості побудови нормальних алгоритмів, які реалізують будь-який конструктивно заданий процес перетворення слів, є використання обох видів підстановок як звичайних, так і заключних, яких може бути кілька в одному алгоритмі.

Сконструювати нормальний алгоритм означає записати в певному порядку одну допустиму операцію за іншою.

Суть алгоритмічного процесу в системі Маркова полягає в тому, щоб застосувати нормальний алгоритм до заданого вхідного слова за таким правилом:

1. виконати першу підстановку алгоритму, яку можна застосувати до заданого вхідного слова;

2. процес застосування підстановок вести доти, поки може бути застосована до поточного слова хоча б одна із звичайних підстановок алгоритму або доти, поки буде застосована перший і єдиний раз заключна підстановка, при цьому щоразу перегляд підстановок відбувається з першої операції в алгоритмі.

Якщо на деякому етапі алгоритмічного процесу жодна підстановка алгоритму А незастосовна до поточного слова, то алгоритм завершує свою роботу і результатом вважається одержане на цей момент слово.

Кажуть, що алгоритм А застосовний до слова Х, якщо процес перетворення слова Х закінчується після скінченого числа етапів яким-небудь словом Y. В цьому випадку кажуть, що алгоритм А перетворює слово Х в слово Y:

A(X)=Y.

Якщо процес перетворення слова Х алгоритмом А ніколи не закінчується, то кажуть, що алгоритм А незастосовний до слова Х.

Зауважимо, що якщо жодна підстановка алгоритму А незастосовна до вхідного слова Х, то результатом роботи алгоритму вважається саме слово Х, тобто

А(Х)=Х.

Для скороченого запису нормальних алгоритмів використовуються так звані схеми нормальних алгоритмів, які містять лише операції підстановки, а відповідні їм операції входження опускаються. Для задання алгоритмічного процесу, який визначає заданий алгоритм зручно використовувати блок-схеми, граф-схеми або скорочені граф-схеми.

Нормальний алгоритм називається замкненим, якщо його схема містить хоча б одну підстановку виду А.В, тобто заключну підстановку. Будь-який нормальний алгоритм можна зробити замкненим, якщо на при кінці алгоритму добавити підстановку виду ..

Будемо позначати замкнений нормальний алгоритм . Очевидно, що незамкнений алгоритм А і замкнений алгоритм , одержаний додаванням підстановки . еквівалентні.

Приклад 2. Нехай задано алфавіт U={a,b} і схема нормального алгоритму:

Побудувати граф-схему, скорочену граф-схему і блок-схему даного алгоритму і застосувати його до заданих вхідних слів:

1. X=bbaba;

2. Х=babbbaa;

3. Х=а;

4. Х=bb.

Р озв’язування. Блок-схему, граф-схему і скорочену граф-схему алгоритму подано відповідно на рис. 1.

Рис. 1.

Застосувавши до вхідних слів алгоритм А₁ одержимо:

а) Х₁=bbbaa

Х₂=bba

Х₃=b

Х₄=a – результат;

b) X₁=bbabbaa

X₂=bbbabaa

X₃=bbbbaaa

X₄=bbbaa

X₅=bba

X₆=b

X₇=a – результат;

с) Х=а – результат;

d) Х₁=bb

Х₂=ab – результат.

Приклад 3. В алфавіті U={|} побудувати нормальний алгоритм для знаходження суми двох натуральних чисел.

Розв’язування. Нехай задано два числа n, m N. Подамо ці числа у вигляді конструктивних об’єктів за допомогою слів алфавіту U={|}. Наприклад,

||| = 3, ||||| = 5.

В цьому алфавіті числа кодуються словами із відповідної кількості букв “|”.

Для подання вхідних даних задачі розширимо алфавіт U символом “+”. Тоді вхідні дані виду n+m в алфавіті U=U{+}={|,+} будуть мати, наприклад, такий вигляд

4+3=||||+|||.

Легко бачити, що нормальним алгоритмом для розв’язання поставленої задачі буде мати таку схему

Приклад 4. В алфавіті U={|,-} побудувати нормальний алгоритм для знаходження різниці двох натуральних чисел.

Розв’язування. В алфавіті U={|,-} вхідні дані задачі виду n-m будуть мати, наприклад, такий вигляд:

4-2=||||-||.

При цьому число 0 будемо вважати порожнім словом.

При відніманні двох чисел слід розглянути два випадки:

а) n  m;

б) n<m.

До алгоритму для випадку а), тобто коли n  m, треба ввести таку підстановку, яка зменшує по одній букві в зменшуваному і від’ємнику одночасно, а саме:

|-|  -

Знак “-“ треба залишати в слові, що перетворюється доти, поки від’ємник має ненульову довжину. Щоб дістати різницю після закінчення дії першої підстановки, треба ввести ще підстановку, яка знищує букву “-“. Тоді алгоритм віднімання двох натуральних чисел за умови, що n  m, в алфавіті U={|,-} має вигляд:

Для випадку б), тобто коли n<m, алгоритм дещо ускладнюється, оскільки треба проаналізувати процес завершення у випадку, коли після дії підстановки |-| - поточне слово буде починатися з підслова -|. Тому що, якщо залишити алгоритм без зміни, то він обчислює величину . Для одержання результату у вигляді від’ємного числа треба в алгоритм ввести підстановку

- |.-|

перед підстановкою - .. Тоді схема нормального алгоритму матиме вигляд:

а його блок-схема буде такою (рис. 2):

Рис.2.