Поясним изложенное на примере
Пусть модель имеет вид:
С = а0+a1C-1+a2Y+a3t
I = b0+b1I-1+b2P+b3K-1
W = c0+c1Y+c2Y-1+c3W-1+c4t
L = d0+d1L-1+d2C+d3t
Y = C+I+G-L
P = Y-W
K = K-1+I
В целом модель состоит из семи уравнений. В ней семь эндогенных переменных, одна экзогенная инструментальная переменная G, шесть эндогенных лаговых переменных и временная переменная t.
Прежде всего необходимо проверить четыре первых уравнения по критерию идентифицируемости.
Очевидно, что для всех уравнений выполняются условия:
(n+m)-(ni+mi) > n-1.
Для первого: (7+8) - (2+2) > 7-1;
для второго:15 - (2+2) > 6;
для третьего: 15 - (2+3) > 6;
для четвертого: 15 - (1+3) > 6.
Так, все уравнения системы сверхидентифицированы, для нахождения параметров необходимо применить двухшаговый метод наименьших квадратов.
Уравнения в приведенной форме в общем виде будут иметь вид:
P = 0+1C-1+2I-1+3K-1+4Y-1+5W-1+6G+7L-1+8t
Y = 0+1C-1+2I-1+3K-1+4Y-1+5W-1+6G+7L1+8t.
Оценивать другие эндогенные переменные на основе приведенной формы не имеет смысла, т.к. в структурных уравнениях в правых частях встречаются только эти переменные: Y встречается в первом и третьем уравнениях, Р - во втором. Остальные эндогенные переменные в структурных уравнениях не встречаются.
Оценка переменных Р и Y производятся на основе временных рядов значений экзогенных переменных и значений Р и Y за те же периоды времени. Применяя метод наименьших квадратов, получаем уравнения регрессии для Р и Y. Затем находим их "теоретические" значения для каждого периода времени в соответствии со значениями экзогенных переменных. Затем оцениваем параметры всех структурных уравнений. Для оценки параметров первого структурного уравнения рассматриваем временные ряды значений С, С-1, а также ряд "теоретических" значений У, полученных на первом шаге. Оценку производим, как уже сказано, обычным методом наименьших квадратов.
Для
оценки параметров второго уравнения
рассматриваются ряды значений I,
I-1,
K-1
и ряд "теоретических" значений
"Р".
Получаем уравнение регрессии, выражающее
I
через I-1,
K-1.и.
.
Аналогично определяются и параметры третьего уравнения, в нем вместо "Y" рассматриваются его "теоретические значения". Для оценки параметров четвертого уравнения применяется также обычный метод наименьших квадратов к исходной форме уравнения, так как там нет в правой части эндогенных переменных.
4.7. Рекурсивные модели.
Рекурсивными моделями будут являться эконометрические модели, построенные таким образом, что эндогенная переменная с номером "i'' может встречаться в правых частях уравнений модели только с номером i+1 (в отличие от модели в структурной форме, когда эндогенная переменная с номером "i" может встречаться в любом уравнении, в том числе и с номером "i-k").
Так, в первом уравнении рекурсивной модели эндогенная переменная будет выражена только через предопределенные переменные (в правой части эндогенных переменных нет). Во втором уравнении в правой части может быть только одна эндогенная переменная и т.д. Например, в четвертом уравнении может не более трех эндогенных переменных. Матрица коэффициентов при эндогенных переменных является треугольной.
Доказано, что численная оценка параметров уравнений модели в рекурсивной форме может осуществляться обычным методом наименьших квадратов, применяемым к каждому уравнению в отдельности и при этом не будут нарушаться предпосылки регрессионного анализа.