4.5. Проблема идентификации.

При анализе системы проверяют идентифицируемость каждого уравнения структурной формы модели. Если все уравнения идентифицируемы, то идентифицируемой является и вся система в целом.

В практике моделирования применяется следующий критерий проверки идентифицируемости уравнений: уравнение будет точно идентифицируемо, если общее число переменных в уравнении будет на единицу меньше, чем число экзогенных (предопределенных)переменных в модели, т.е.

n_i+m_i-1= m,

где: n_i - число эндогенных переменных в уравнении;

m_i - число предопределённых переменных в уравнении;

m - общее число предопределённых переменных в модели.

Если это соотношение выполняется в виде неравенства, т.е.

n_i+m_i-1< m,

то уравнение будет сверхидентифируемо.

Условие идентификации можно сформулировать и в другой форме: общее число переменных, содержащихся в системе, но в данном уравнении не появляющихся, должно быть по меньшей мере на единицу меньше общего числа уравнений (или эндогенных переменных). Это значит, что должны найтись хотя бы (n-1) эндогенная и экзогенная переменная, которые встретятся в системе, но не в уравнении, которое проверяется.

Рассмотрим пример модели в структурной форме:

Y₁ = b₁y₂+a₁₁x₁ (4.1)

Y₂ = b₂₁y₁+a₂₂x₂. (4.2)

Проверим, являются ли идентифицируемыми уравнения модели. Общее число уравнений в модели равно двум: n = 2, две эндогенные переменные – y₁ и y₂, экзогенных переменных также две х₁, x₂ (m = 2).

Рассмотрим уравнение (4.1). В уравнении содержатся три переменных y₁, y₂ и x₁, переменная x₂ - переменная, которая содержится в системе, но отсутствует в данном уравнении, таким образом выполняется соотношение:

(n+m) — (n_i+m_i) = n-1

т.е. (2+2) – (2+1) =2-1. Следовательно, первое уравнение точно идентифицируемо. Аналогично, в уравнении (4.2) отсутствует переменная x₁, которая имеется в системе. Второе уравнение тоже точно идентифицируемо.

Итак, все уравнения модели точно идентифицируемы. В моделях с точно идентифицируемыми уравнениями для оценки параметров может быть применен метод наименьших квадратов. При этом модель в структурной форме преобразовывается в приведенную форму. Оценка параметров приведенной формы производится обычным методом наименьших квадратов к каждому уравнению в отдельности. Полученные оценки параметров приведенной формы используются затем для определения оценок коэффициентов структурной формы.

Подобный метод оценки параметров структурной формы на основе приведенной формы модели носит название косвенного метода наименьших квадратов. Как уже говорилось выше, однозначное соответствие между структурной и приведенной формами существует только в точно идентифицируемых системах.

4.6. Двухшаговый метод наименьших квадратов.

Большинство практически построенных эконометрических моделей состоят из сверхидентифицированных уравнений. Для оценки параметров таких моделей применяется двухшаговый метод наименьших квадратов, который позволяет получить статистически надежные оценки параметров в отличие от оценок, получаемых на основе применения прямого или косвенного метода наименьших квадратов к уравнениям таких систем.

Суть двухшагового метода наименьших квадратов состоит в следующем:

1. вначале структурная форма модели преобразуется в приведенную;

2. оцениваются параметры уравнений приведенной формы с помощью обычного метода наименьших квадратов, в результате чего получают оценку каждой эндогенной переменной;

3. затем в правые части уравнений первоначальной структурной формы вместо имеющихся там эндогенных переменных подставляются их оценки, полученные в результате первого шага. Параметры каждого структурного уравнения затем оцениваются обычным методом наименьших квадратов.