Корреляционные зависимости

а — переменные x и у не коррелируют;

б — слабая отрицательная корреляция;

в — сильная положительная линейная кор­реляция т. е. направление «облачка» (см. рис. выше). Распространенный спо­соб решения этой задачи — ме­тод наименьших квадратов от­клонений наблюдаемых значе­ний у от рассчитываемых по фор­муле корреляционного уравне­ния.

Особенно широко применя­ется К. а. в теории производст­венных функций, в разработке разного рода нормативов на про­изводстве, а также в анализе спроса и потребления.

Корреляция [correlation] — величина, характеризующая взаимную зависимость двух слу­чайных величин Х и У — без­различно, определяется ли она некоторой причинной связью или просто случайным совпадением (ложной корреля­цией). Для того, чтобы опре­делить эту зависимость, рассмот­рим новую случайную величину — произведение отклонения зна­чений х от его среднего Мх и отклонения у от своего среднего My. Можно вычислить среднее значение новой случайной ве­личины:

r_xy = М{(х - Мх)(у - Му)}.

Это среднее получило назва­ние корреляционной функции или ковариации. На ее основе (делением на ко­рень произведения дисперсий _x² _y², т. е. на произведение стандартных отклонений) стро­ится коэффициент корреляции: r_xy

R_xy =--------

_x _y

При нелинейной зависимости аналогич­ный показатель носит название индекса корреляции.

Если x и у — независимы, то R_xy = 0. Если же х и у - зависимы, то обычно R_xy  0. Причем в тех случаях, когда зависимость пол­ная, то либо R_xy = 1 (x и у растут или уменьшаются одновременно), либо R_xy= -1 (при увеличении одной из них другая — умень­шается). Следовательно, коэф­фициент корреляции может из­меняться от -1 до + 1. К. ис­пользуется для выявления ста­тистической зависимости вели­чин при обработке данных. На­ряду с указанной формулой используется ряд формул эмпи­рического определения тесноты корреляционной связи между наблюдаемыми признаками ис­следуемых величин.

Л

Лаг [lag, time—lag ], вре­менной Л., запаздыва­ние — экономический показа­тель, отражающий отставание или опережение во времени од­ного экономического явления по сравнению с другим, связанным с ним явлением. Капиталовло­жения в промышленность, например, дают отдачу не сразу, а через несколько лет, когдa будут построены и освоены новые производства. Поэтому, изучая влияние капиталовложений на развитие хозяйства, прихо­дится относить это влияние не на ближайший год, а на третий, четвертый и т. д. Подобные яв­ления отражаются в экономико-математических моделях в ма­шинной имитации через так на­зываемые распределенные Л. различных видов. В мо­дели с распределенным Л. ре­зультат рассматривается не как функция затрат некоторого оп­ределенного года, а как функция затрат последовательного ряда лет прошлого периода:



y_t =  _ix_t-i + u_t,

t = 0

где y_t — результат в году t;

x_t-i — затраты в году t—i;

— максимальный срок запаздыва­ния;

u_t — ошибка уравнения (по­мехи);

_i — весовые коэффици­енты, характеризующие сравни­тельное значение отдельных лет для результата .

Наиболее явно выделяются Л. при анализе циклических, в том числе сезонных колебаний.

Важными видами Л. являются инвестиционный Л., характеризующий время оборота всех производственных капита­ловложений (включая вложения в оборудование), и строитель­ный Л., характеризующий сред­ний срок строительства произ­водственного объекта, а также запаздывание предложения то­варов от их производства, запаз­дывание спроса от предложения товаров, запаздывание потребле­ния от спроса, запаздывание вы­пуска кадров от начала их обу­чения, и т. д.

В эконометрических моделях вы­деляются три группы запаздываний:

а) когда значение эндогенной пере­менной в данный момент времени за­висит от значении той же переменной в предшествующие моменты времени;

б) когда данная эндогенная пере­менная может влиять на другую (или другие) эндогенную переменную только по истечении какого-то пери­ода времени;

в) когда значение эндогенной пере­менной определяется значением экзо­генной переменной более раннего вре­мени.

В общей модели распределенного Л. последовательность коэффициентов _i (t = 0, 1, 2, . . .) называется структурой Л.

Линейная модель [linear mo­del] — модель, отображающая состояние или функционирование системы таким образом, что все взаимозависимости в ней при­нимаются линейными. Соответ­ственно, она может формулиро­ваться в виде одного линейного уравнения или системы линей­ных уравнений. Причем, в ряде случаев нелинейность взаимоза­висимостей может приводиться к линейной форме путем матема­тических преобразований пере­менных: например, в нелинейных соотношениях:

1

у = e^x, у = x^, у =  +  ----.

x

В первом и втором случаях логарифмирование обеих час­тей уравнений обеспечивает связь линейную в логарифмах: ln y= ln + x ; y= ln +  lnx ; a в третьем — линейно зависимы у и I/х. Л. м., учитывающую стохастику, в общей форме можно записать так:

у_i = _i + x_i + u_i

В этой «регрессионной линейной модели» сле­дующие обозначения:

• свободный член  и вектор  — параметры, и — случайная ошибка, математи­ческое ожидание которой равно нулю;

• x_i — вектор переменных, идентифицированных как оказы­вающих воздействия на перемен­ную у (т. е. управляющих пере­менных).

Соответственно, Л. м. в виде системы уравнений в общей форме записывается:

у_i = _i + Bx_i + u_i ,

где: у_i –i-я зависимая переменная;

B = _ij — матрица па­раметров модели;

x_i - вектор уп­равляющих переменных в i-м уравнении.

Линейная функция [linear function] —функция вида ах +b = у. Основное ее свойство: прираще­ние функции пропорционально приращению аргумента: Л. ф. изображается на графике пря­мой линией. Если b=0 функция называется однородной, причем однородная Л. ф. многих переменных описывается линей­ной формой.

Линейные уравнения [linear equations] — уравнения, в кото­рые неизвестные входят в 1-й сте­пени (линейно) и нет членов, содержащих произведения неиз­вестных или экспоненты. Система линейных урав­нений может иметь либо един­ственное решение, либо беско­нечное множество решений (неопределенная сис­тема), либо ни одного решения (несовместная система).

Общий вид системы Л. у.:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂

…………………………………………

a_m1x₁ + a_m2x₂ +… +a_mnx_n = b_m .

Здесь a_ij, b_i, i= 1,2 … n; j = 1, 2, …,m - произвольные числовые коэффициенты, числа b_i обычно называют свобод­ными членами. В случае, если все b_i = 0, систему называют однородной. При решении системы уравнений широко при­меняются определители, состав­ленные из коэффициентов a_ij при неизвестных. В векторно-матричной записи

n

 a_{ij i}x_ij = b_i, , Ах = b

j=1

Здесь A = [a_ij] — матрица, со­стоящая из коэффициентов при неизвестных системы («м а т р и ц а с и с т е м ы»).

Логистическая функция [logistic function] — функция, кривая которой сначала растет мед­ленно, потом быстро, а затем снова замедляет свои рост, стре­мясь к какому-то пределу. Л. ф. часто применяются в анализе спроса на товары, обладающие способностью достигать некото­рого уровня насыщения.

М

Макроподход и микроподход [macro- and microapproach] — противоположные подходы, за­висящие главным образом от того, с какой позиции наблюдается объект. При макроподходе объ­ект (будь это такая сложная си­стема, как народное хозяйство, или такая сложная его подси­стема, как промышленность, или более простой объект — предприятие, участок) рассма­тривается, так сказать, снаружи, как единое целое. Это означает, что внутренние связи, внутрен­нее устройство объекта игнори­руются, а изучаются только вхо­ды и выходы, их взаимная зави­симость. В кибернетике такой подход связывают с понятием «черного ящика»).

В экономике он означает изу­чение обобщающих показателей функционирования экономиче­ской системы, безотносительно к тому, продуктом каких взаимо­действий составляющих ее эле­ментов являются эти показатели.

При микроподходе же объект рассматривается как бы изнутри. Изучаются внутренняя струк­тура, внутренние связи между его элементами. Микроподход вовсе не означает «микроскопи­ческий», мелкий: при изучении народного хозяйства страны ми­кроподход может означать и ана­лиз взаимосвязей между такими гигантскими элементами, как промышленность и сельское хо­зяйство, производство и потреб­ление и т. д.

Одна из кардинальных и еще далеко не решенных задач эко­номической науки — проблема соединения микроанализа и мак­роанализа реальных экономиче­ских систем разных типов, т. е. выведения из закономерностей экономического поведения и вза­имодействий отдельных элементов системы макроэкономических характеристик ее поведения в це­лом (задача, аналогичная извест­ной задаче физики: установить связь между движением отдель­ных атомов газа и его общими характеристиками, т. е. темпе­ратурой, объемом, давлением). Различные математические под­ходы к такому соединению (иног­да его называют «а г р е г и р о в а н и е м микротеории») исследуются в рамках ряда экономико-математических направлений.

Различие между рассматрива­емыми терминами проводится не всегда строго. Приставка «макро», в частности, привилась к экономической дисциплине — «макроэкономике», ко­торая оперирует такими поня­тиями, как «м а к р о м о д е л и р о в а н и е» (укрупненное мо­делирование экономических про­цессов всего народного хозяй­ства), «макроэкономическая модель» даже «макропоказатели» (такие, например, как совокупный общественный про­дукт, национальный доход и др.). При этом макроэкономисты, во­преки указанному выше разделе­нию, рассматривают экономику не только как одно целое, что естественно для макроподхода, но и членят ее обычно на ряд отраслей или секторов, изучая их взаимозависимости и связи.

Макроэкономическая модель [macroeconomic model] то же:

м а к р о м о д е л ь, агреги­рованная, агрегат­ная модель, — экономике-математическая модель, отража­ющая функционирование народ­ного хозяйства как единого це­лого. Макромодели оперируют крупноагрегированными, как правило, стоимостными показа­телями (например, национальный доход, валовые капиталовложе­ния и др.).

Четкого отграничения макро­моделей от микромоделей пока нет. Безусловно лишь, что к пер­вым относятся наиболее обоб­щенные глобальные модели. Что же касается моделей, в которых учитывается членение народного хозяйства на крупные подсисте­мы, например, секторы (подраз­деления общественного производ­ства), отрасли и регионы, то одни авторы относят их к микромоде­лям, другие — к макромоделям.

Макромодели используются для теоретического анализа наи­более общих закономерностей функционирования и развития народного хозяйства. (Например, аг­регированные теоретико-аналити­ческие модели теории экономи­ческого роста). М. М. может служить также основной моделью в системе моделей планирования и управления народным хозяй­ством. Определяемые в ней наи­более общие показатели кон­кретизируются в частных моде­лях следующих уровней, уточ­няясь в свою очередь, по резуль­татам этих расчетов. По харак­теру зависимостей макромодели (как и всякие модели) могут быть детерминированными и вероят­ностными (стохастическими), по роли временного фактора — статическими и динамическими, по представлению переменных (включая переменную времени)— дискретными и непрерывными.

Математическая статистика [mathematical statistics] — раз­дел математики, посвященный методам и правилам обработки и анализа статистических дан­ных (т. е. сведений о числе объ­ектов, обладающих определен­ными признаками в какой-либо более или менее обширной сово­купности). Сами методы и пра­вила строятся безотносительно к тому, какие статистические данные обрабатываются (физи­ческие, экономические и др.), однако обращение с ними тре­бует обязательного понимания сущности явления, изучаемого с помощью этих правил.

К экономике М. с. применима по той причине, что экономиче­ские данные всегда представляют собой статистические сведения, т. е. сведения об однородных совокупностях объектов и явле­ний. Такими однородными совокупностями могут быть выпуска­емые промышленностью изделия, персонал промышленности, дан­ные о прибылях предприятий и т. д.

В настоящее время существуют разные определения сущности М. с., и не следует удивляться, если вы увидите в одной книге, вопреки сказанному выше, ут­верждение, что М. с, — это на­ука о принятии решений в усло­виях неопределенности, а в дру­гой — что это «наука, объясняю­щая данные статистических на­блюдений при помощи вероятно­стных моделей». Некоторые ав­торы считают, что она — раздел теории вероятностей, а другие, — что она лишь связана с этой тео­рией, представляя собой отдель­ную от нее науку. Наконец, рас­пространено расширенное пони­мание предмета М. с. как охва­тывающей не только вероятно­стные аспекты, но и так называе­мую прикладную статистику («анализ данных»).

В общем случае, анализ ста­тистических данных методами М. с. позволяет сделать два вы­вода: либо вынести искомое суж­дение о характере и свойствах этих данных или взаимосвязей между ними, либо доказать, что собранных данных недостаточно для такого суждения. Причем выводы могут делаться не из сплошного рассмотрения всей со­вокупности данных, а из ее вы­борки, как правило, случайной (последнее означает, что каждая единица, включенная в выборку, могла быть с равными шансами, т. е. с равной вероятностью, заменена любой другой).

Центральное понятие М. с. — случайная величина — всякая наблюдаемая величина, изменяющаяся при повторениях общего комплекса условий, в которых она возникает. Если сам по себе набор, перечень значении этой величины неудобен для их изучения (поскольку их много). М. с. дает возможность получить необходимые сведения о случайной величине с существенно меньшим количеством чисел. Это объясняется тем, что статистические данные подчиняются таким законам распределения (или приводятся к ним порою искусственными приемами), которые характеризуются всего лишь несколькими параметрами, т. е. характеристиками. Зная их, можно получить столь же полное представ­ление о значениях случайной величины, какое дается их под­робным перечислением в очень длинной таблице. (Характери­стиками распределения являются среднее, медиана, мода, диспер­сия и т. д.).

Если изучаются взаимосвязи между значениями разных слу­чайных величин, то необходимые сведения для этого дают коэффи­циенты корреляции между ними.

Когда совокупность анализи­руется по одному признаку, име­ем дело с так называемой одно­мерной статистикой, когда же рассматривается не­сколько признаков — с много­мерными статистиче­скими методами.

М. с. охватывает широкий круг одномерных и многомерных мето­дов и правил обработки статисти­ческих данных: от простых прие­мов статистического описания (выведение средней, а также степени и характера разброса иссле­дуемых признаков вокруг нее, группировка данных по классам и сопоставление их характери­стик и т. д.), правил отбора фактов при выборочном их рас­смотрении до сложных методов исследования зависимостей меж­ду случайными величинами: вы­явление связей между ними — корреляционный анализ, оценка величины случайной переменной, если величина другой или других известна — регрессионный анализ, выявление наиболее важных скрытых факторов, влияющих на изучаемые величины, — факторный анализ, определение степени влияния отдельных неколичественных факторов на общие результаты их действия (например, в научном эксперименте) — дисперсионный анализ. Перечислен­ные области составляют основ­ные дисциплины, входящие в М.с. К ним примыкают также быстро развивающиеся упоминавшиеся выше методы "анализа данных", не основанные на традиционной для М.с. предпосылке вероятностной природы обрабатываемых данных.

Для экономических исследований большое значение имеет также анализ стохастических процессов, в том числе "марковских процессов".

Задачи М.с. в экономике можно разделить на пять основных типов: первый - оценка статистических данных; второй - сравнение этих данных с каким-то стандартом и между собой (это имеет особое значение при эксперименте или, например, в контроле качества на предприятиях); третий - исследование связей между статистическими данными и их группами. Эти три типа позволяют вынести суждение описательного харак­тера об изучаемых явлениях, подверженных по каким-то при­чинам искажающим случайным воздействиям. Следующий, чет­вертый тип задач связан с на­хождением наилучшего варианта измерения изучаемых данных. И, наконец, пятый тип задач связан с проблемами предвиде­ния и развития, здесь важной место занимают задачи анализа временных рядов. Для экономики особенно ценно то, что М. с. позволяет на основании анализа течения событий в прошлом, т. е. изучения выбранных на опре­деленные даты сведений о харак­терных чертах системы пред­сказать ве­роятное развитие изучаемого яв­ления в будущем (если не изме­нятся существенно внешние или внутренние условия).

В управлении хозяйственными и производственными процессами применяются различные математико-статистические методы. На них основаны многие методы исследования операций, в том числе — методы теории мас­сового обслуживания, позволяю­щие наиболее эффективно орга­низовывать ряд процессов про­изводства и обслуживания насе­ления; теории расписаний, пред­назначенной для выработки оп­тимальной последовательности производственных, транспорт­ных и других операций; теории решений; теории управления за­пасами, а также теории планирования эксперимента и выбороч­ного контроля качества продук­ции; сетевые методы планирова­ния и управления. В эконометрических исследованиях на ос­нове математико-статистической обработки данных строятся эко­номико-математические (эко­номико-статистические) модели экономических процессов, про­водятся экономические и тех­нико-экономические прогнозы. Широкое распространение математико-статистических методов в общественном производстве, а также в других областях со­циально-экономической жизни общества (здравоохранение, экология, естественные науки) опирается на развитие элект­ронно-вычислительной техни­ки. Для решения типовых за­дач математико-статистической обработки данных созданы и применяются многочисленные стандартные прикладные про­граммы для ЭВМ.

Математическая экономия [mathematical economics] — наука, изучающая те же вопросы, что эконометрика, только без статистической конкретизации экономических параметров, в виде общих математических зависимостей. На ее основе разработан разнообразный и мощный математический аппарат, основанный на методах функционального анализа, топологии, теории дифференциальных уравнений и др., охватывая своим анализом проблемы экономического роста, равновесия, oптимального управления и т. д.

Математическое ожидание (или среднее значение) – [expected value] — для дискретной случайной величины Х равно сумме произведений возможных значений этой величины на их вероятности xР(x), а для непрерывной случайной величины — интегралу:

 xP(x)dx (хА).

Обозначается обычно: Мх или Ех .

Матрица [matrix] — система элементов (чисел, функций и других величин), расположенных в виде прямоугольной таблицы, над которой можно производить определенные действия. Таблица имеет следующий вид:

а₁₁ а₁₂ … а_1n

a₂₁ a₂₂ … a_2n

A = . . .

. . .

. . .

a_m1 a_m2 … a_mn

В экономике применяются действительные числа, соответственно М. из таких чисел называется действительной. В показанной М. т строк и п столбцов, следовательно, это — М. размера m х n. При m = n имеем квадратную М. (такова М. межотраслевого баланса (МОБ) в стоимостном выражении). В этом случае число т=п называется порядком М. При т п это просто М. (ею может быть, например, натуральный межотраслевой баланс). Э л е м е н т М. в общем виде обозначается a_ij — это показывает, что мы имеем число, расположен­ное на пересечении i-й строки и j-го столбца (разумеется, i и j можно заменить любой другой буквой, но такое обозначение — наиболее распространенное). Соответственно, М. А может обозначаться [а_ij].

М. размера m x 1 называется вектор-столбец, а размера 1х п — вектор-строка.

Над М. можно производить ряд математических действий (с помощью операций над их элементами): сложение, умножение на скаляр, умножение на М., обращение, транспонирование и др..

М., транспонированная по отношению к A=[ij], есть М. того же размера, у которой столбцы поменялись местами со строками. Иначе говоря, это М. [а_ji]. Обратные и транспонированные М. имеют очень большое применение в моделях МОБ. В них также широко применяется разбиение М. на меньшие подматрицы (б л о к и). М. коэффициентов систем уравнений — инструмент решения задач математического программирования, задач линейной алгебры и др.

Метод Монте-Карло [Monte— Carlo technique] (статистических испытаний) — один из методов статистического моделирования, основанный на кибернетической идее "черного ящика".

Он применяется в тех случаях, когда построение аналитической модели явления трудно или вовсе неосуществимо, например, при решении сложных задач теории массового обслуживания и ряда других задач исследования операций, связанных с изучением случайных процессов.

Применение М. М.-К. можно проиллюстрировать примером из области теории очередей. Предположим, надо определить, как часто и как долго придется ждать покупателям в очереди в магазине при заданной его пропускной способности (допустим, для того, чтобы принять решение, следует ли расширять магазин). Подход покупателей носит случайный характер, распределение времени подхода может быть установлено из имеющейся информации. Время обслуживания покупателей тоже носит случайный характер и его распределение тоже может быть выявлено. Таким образом, имеются два стохастических или случайных процесса, взаимодействие которых и создает очередь.

Теперь, если наугад перебирать все возможности (например, число покупателей, приходящих за час), сохраняя те же характеристики распределения, можно искусственно воссоздать картину этого процесса. Повторяя такую картину многократно, каждый раз меняя условия (число подходящих покупателей), можно изучать получаемые статистические данные так, как если бы они были получены при наблюдении над реальным потоком покупателей.

Точно так же можно воссоздать искусственную картину работы самого магазина: здесь распределение будет повторять распределение времени обслу­живания отдельного покупателя. Получаются опять два стохастических процесса. Их взаимодействие даст "очередь" с примерно такими же характеристиками (например, средней длиной очереди или средним временем ожидания), какими обладает реальная очередь.

Таким образом, смысл М. М.-К. состоит в том, что исследуемый процесс моделируется путем многократных повторений его случайных реализаций. Еди­ничные реализации называются статистическими испытаниями — отсюда второе название метода. Остается определить что такое выбор вариантов наугад (или механизм случайного выбора). В простых случаях для этого можно применять бросание игральной кости (классический учебный прием), но на практике используют таблицы случайных чисел либо вырабатывают (генерируют) случай­ные числа на ЭВМ, для чего имеются специальные , которые называются.

Метод наименьших квадратов [least—square technique] — математический (математико-статистический) прием, служащий для выравнивания динамических рядов, выявления формы корреляционной связи между случайными величинами и др. Состоит в том, что функция, описывающая данное явление, аппроксимируется более простой функцией (или линейной комбинацией таких функций). Причем, последняя подбирается с таким расчетом, чтобы средне-квадратичное отклонение фактических уровней функции в наблюдаемых точках от выровненных было наименьшим. В качестве аппроксимирующих функций применяются линейная (выравнивание по прямой линии), параболическая, экспоненциальная и др. Пример выравнивания динамического ряда по прямой см. на нижеприведенном рисунке.

Микроэкономическая модель [microeconomic model] — экономико-математическая модель, отражающая функционирование и структуру звена хозяйственной системы, взаимодействие его составных частей (см. Макроподход и микроподход). Четкого отграничения микромоделей от макромоделей пока нет. Как правило, этот термин относят, однако, к изучению деятельности таких ведущих звеньев экономики, как предприятие и объединение. Кроме того, к микромоделям относят некоторые модели, связанные с социально-экономическими процессами (например, модели спроса и предложения). Их отличия от макромоделей: большая зависимость от внешней среды, дезагрегация показателей. Так же как и макроэкономические модели, микромодели могут быть статическими и динамическими, детерминированными и вероятностными, дискретными и непрерывными.

Многомерный статистический анализ [multidimensional, multivariate statistical analysis] — раздел математической статистики, посвященный математическим методам построения оптимальных планов сбора, систематизации и обработки многомерных статистических данных, направленным на выявление характера и структуры взаимосвязей между компонентами исследуемого многомерного признака и предназначенным для получения научных и практи­ческих выводов.

Включает дискриминантн ы й а н а л и з, кластерный анализ и другие математико-статистические методы, как правило, не опирающиеся на предпосылку о вероятностном характере исследуемых зависимостей. В частности, дискриминантный анализ предназначен для решения задач, связанных с разделением совокупностей наблюдений (элементарных д а н-

н ы х). Если у исследователя имеется по одной выборке из каждой неизвестной ему генеральной совокупности (такую выборку называют «обучающей»), то с помощью методов дискриминантного анализа удается приписать некоторый новый элемент (наблюдение х) к своей генеральной совокупности.

Кластер-анализ позволяет разбивать исследуемую совокупность элементов (координаты которых известны) таким образом, чтобы элементы одного класса находились на небольшом расстоянии друг от друга, в то время как разные классы были бы на достаточном удалении друг от друга и не разбивались бы на столь же взаимоудаленные части.

Методы многомерного анализа сложны с вычислительной точки зрения и потому реализуются, как правило, на ЭВМ, для которых созданы необходимые типовые программы.

Модель [model] — логическое или математическое описание компонентов и функций, отображающих существенные свойства моделируемого объекта или процесса (обычно рассматриваемых как системы или элементы системы). М. используется как условный образ, сконструированный для упрощения их исследования. Природа моделей может быть различной (общепризнанной единой классификации моделей в настоящее время не существует): материальные или вещественные модели (например, модель самолета в аэродинамической трубе); з н а к о в ы е модели двух типов: графические (чертеж, географическая карта) и математические (формула, описывающая гравитационное вааимодействие двух тел); материально идеальные ("деловая игра"); словесное описание объекта (явления, процесса) можно также рассматривать как его модель.

В управлении хозяйственными процессами наибольшее значение имеют математические, прежде всего, экономико-математические модели, часто объединяемые в комплексы моделей и системы моделей.

Н

Нормальное распределение [normal distribution], или распределение Гаусса, — распределение вероятностей случайной величины X, возникающее обычно, когда Х представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, каждая из которых играет в образовании всей суммы незначи­тельную роль.

Н. р. унимодально описывается колоколообразной (симметричной) кривой; его средняя (математическое ожидание) совпадает с модой. Н. р. чрезвычайно широко используется в математической статистике. В частности, в моделях регрессии ошибка принимается распределенной по этому закону. Предпосылка Н. р. учитывается и в большинстве критериев статистической проверки гипотез.

О

Обращение матрицы [matrix inversion] — операция получе­ния матрицы, обратной к задан­ной. Если задана матрица А, то обратная ей матрица обознача­ется А^-1 и вычисляется в общем виде так:

[A_ji]

А^-1 = [a_ij] ^–1 = ---------

det A

Здесь det A — детерминант (определитель) этой матрицы, [A_ji] — транспонированная ма­трица алгебраических дополне­ний.

При больших размерах мат­рицы вычисление по этой фор­муле элементов матрицы А^-1 тре­бует очень громоздких расчетов. Поэтому изыскиваются различ­ные более эффективные методы О. м. на ЭВМ.

С помощью обратной матрицы определяются в межотраслевом балансе валовые выпуски про­дукции, необходимые для полу­чения заданных компонентов ко­нечного продукта (т. е. осуще­ствляется решение уравнений МОБ)

Определитель матрицы, детерминант [determinant] — число, соответствующее квадратной матрице и полученное путем ее преобразования по определенному правилу. Обычное обозна­чение detA. Например, определи­тель (второго порядка) матрицы:

		а11	а12
А	=
		a21	a22

Обозначается

		а11	а12
det А	=
		a21	a22

и вычисляется следующим обра­зом:

det А = а₁₁а₂₂ — а₁₂а₂₁

0пределитель, в котором вы­черкнуты произвольная строка, например

i-ая и произвольный столбец, например j-ый, назы­вается минором. Он имеет (n - 1)-й порядок, т. е. порядок на 1 меньше, нежели исходный опре­делитель.

Определители используются при обращении матриц, при решении систем линей­ных уравнений, в частности при решении задач межотраслевого баланса.

Оценка параметров модели (ее параметризация) [pa­rameter estimation] — 1. Этап построения экономико-матема­тической модели, например эконометрической модели, заклю­чается в определении численных значений существенных парамет­ров модели, выявленных на пред­варительных этапах анализа ис­следуемого объекта или про­цесса. Па­раметры модели численно оцени­ваются по данным, полученным путем экономического экспери­мента и статистического наблю­дения - чаще всего методом наи­меньших квадратов, методом максимального правдоподобия, а также некоторыми другими статистическими методами. На этой основе можно производить различные операции над мо­делью, например, строить про­гнозы поведения системы.

2. Ко­личественное значение оценен­ных параметров

Ошибка [error, deviation]— 1.В эконо­мико-математическом моделиро­вании — элемент модели, отра­жающий суммарный эффект не учтенных в ней непосредственно (т. е. не признанных существен­ными) систематических и слу­чайных факторов, воздействую­щих на экзогенные переменные. 2. В математической статисти­ке то же, что отклонение или разброс около истинного значе­ния рассматриваемой случайной величины.

Ошибки в наблюдениях [observation bias] — в выборочных методах возникают тогда, когда пропускают то, что в действительности имеет место (например, при наблюдении экономических явлений, в задачах поиска).

Ошибки в прогнозировании [forecasting bias] — расхождения между данными прогноза и дей­ствительными (фактическими) данными. Закономерности О. п. изучаются математико-статистическими методами. Различаются четыре вида ошибок: исходных данных, модели прогноза, согла­сования, стратегии.

Ошибки исходных дан­ных связаны, главным образом, с не­точностью экономических измерений, не качественностью выборки, искаже­нием данных при их агрегировании и т. д.

Ошибки модели прог­ноза возникают вследствие упрощения и несовершенства теоретичес­ких построений, экспертных оценок и т. д. Правильность модели прогноза (в том числе оценки ее параметров) проверяется ретроспективным расче­том, который можно сопоставить с дей­ствительным ходом исследуемого про­цесса. Однако и это не дает полной гарантии качества прогноза на буду­щее, так как условия могут измениться.

Ошибки согласования часто происходят из-за того, что ста­тистические данные в народном хо­зяйстве подготавливаются разными ор­ганизациями, которые применяют раз­личную методологию расчетов.

Ошибки стратегии — ре­зультат, главным образом, неудачного выбора оптимистического или песси­мистического, вариантов прогноза.

П

Пассивный (безусловный) статистический прогноз [passive fo­recast] — прогноз развития, ос­нованный на изучении статисти­ческих данных за прошлый пе­риод и переносе выявленных за­кономерностей на будущее. При этом внешние факторы, воздей­ствующие на систему, прини­маются неизменными и считается, что ее развитие основывается только на собственных, внутрен­них тенденциях. Примером пас­сивного прогноза является экс­траполяция сложившихся тем­пов роста того или иного показа­теля. Допустим, в среднем за десять лет национальный доход страны рос на 5 % в год. Делаем вывод (экстраполируем): значит, и следующие несколько лет тем­пы останутся прежними. Ясно, что такой прогноз реален только на очень короткий срок и да­леко не для всех экономических показателей, а лишь для наи­более инерционных, устойчи­вых.

Переменная модели [variable] — переменная величина, включенная в модель и принимающая различные значения в процессе решения экономико-математической задачи. Независимые переменные принимают значения координат моделируемой системы; они могут быть управляемыми или сопутствующими. Зависимые переменные (функции) выступают как результат решения задачи. Либо, наоборот, по желательному значению функции (функционала) критерия отыскивается в том или ином смысле соответствующее ему сочетание значений управляемых переменных

В экономико-математической терминологии такие термины как переменная, параметр, фактор, а также «величина» часто смешиваются, обозначая одно и то же. На деле, по-видимому, следует различать: а)переменную и параметр (как константу), б) переменную как элемент модели и фактор как источник воздействия на систему, отражаемый в переменной. Кроме того, наряду с тер­мином «П. м.» часто использу­ется, как равнозначный ему, тер­мин «переменная системы». Однако, строго говоря, послед­ний не имеет смысла: математи­ческое понятие переменной (как и, например, константы) возни­кает лишь тогда, когда есть математическое описание си­стемы, т. е. модель. В при­менении же к системе точнее были бы термины «характери­стика», «свойство», «воздей­ствие».

Переменные, способные прини­мать некоторое ограниченное число значений (т. е. определенные на ди­скретных множествах) называются дискретными переменными. Наоборот, если переменная определена на непрерывном мно­жестве и может принять любое в его границах значение — она называется непрерывной.

Соответственно в процессе решения задачи используются следующие из­менения природы перемен­ной величины: рассмотрение переменной в качестве постоянной (константы), рассмотрение дискретной переменной как непрерывной, рассмо­трение непрерывной переменной как дискретной. В зависимости от условий задачи подобные преобразования мо­гут облегчать ее решение.

В экономико-математических иссле­дованиях используются не только ма­тематические переменные (как в при­веденных случаях), но и логические переменные.

В эконометрике также применяется взятый из математической статистики термин «объясняющие переменные»— для обо­значения независимых переменных (факторов) — как управляемых, так и сопутствующих. Объясняющие пере­менные могут быть как детерминиро­ванными, так и стохастическими.

Поисковый прогноз [exploratory, exploration forecast] — то же, что генетический прогноз, и з ы с к а т е л ь с к и й прогноз — прогноз, показывающий, к каким состояниям при­дет прогнозируемый объект в за­данное время при определенных начальных условиях. Он может быть как пассивным так и ак­тивным прогнозом.

Приведенная форма модели [reduced form of an econometriс modеl] — такая форма пред­ставления эконометрической мо­дели, в которой каждая из те­кущих эндогенных переменных непосредственно выражена как функция предопределенных пере­менных. Иными словами, каж­дое уравнение здесь представляет собой решение системы уравне­ний модели, заданной в струк­турной форме, относительно каждой текущей эндогенной переменной. (Число уравнений модели равно числу текущих эн­догенных переменных).

Структурная форма модели преобразуется в приведенную пу­тем последовательных подстано­вок, и все коэффициенты (пара­метры) последней представляют собой некоторые функции первоначальных коэффициентов струк­турной формы модели.

Прогноз [forecast, prediction] — научно обоснованное суждение о возможных состояниях объекта в будущем или об аль­тернативных путях и сроках до­стижения этих состоянии (либо как о том, так и о другом). Это суждение, хотя и носит вероят­ностный характер, все же обла­дает определенной степенью до­стоверности. Если достоверность является полной, можно приме­нить и термин «предсказание». На практике П. — это документ, фиксирующий возможную сте­пень достижения тех или иных целей в зависимости от способа будущих действий.

Приоритет, предоставляемый перспективным планам перед П., вовсе не умаляет зна­чения последнего. Разумеется, сама возможность вырабатывать и реализовывать перспективные планы развития национальной экономики в целом — неоспори­мое преимущество экономической системы. Однако велико и значение П.

Экономические П. делятся на оперативные, кратко­срочные, перспектив­ные (среднесрочные и долго­срочные, включая так называе­мые дальне-

срочные). Наиболь­шее экономическое значение имеют долгосрочные П. Такое деление связано с принятым под­разделением планирования на оперативно-календарное (до ме­сяца), текущее (годовое), перс­пективное (пятилетнее) и долго­срочное.

По способам представления ре­зультатов П. подразделяются на точечные и интервальные.

По методам разработки раз­личаются пассивный П., кото­рый основывается на изучении экономических процессов, обла­дающих большой инерционно­стью, и целевой, или активный (условный) П., который опирается на систему моделей эконо­мической динамики, учитываю­щих возможность некоторого воздействия на общий ход эко­номических процессов.

П. е х a n t е — П. на пред­стоящий период, разработанный на основе исследования настоящего и прошлого.

П. е х post— П., предсказываю­щий прошлые (уже известные) значе­ния исследуемых переменных на ос­нове данных, предшествовавших по­следним. Предназначается для про­верки точности прогнозной модели и на этой основе — для оценки точ­ности собственно П. на будущее.

Р

Регрессионная модель [regression model] — экономико-статистическая модель, основанная на уравнении регрессии, или системе регрессионных урав­нений, связывающих величины экзогенных (входных, «объясняю­щих» и эндогенных (выходных) переменных.

Регрессионный анализ [regression analysis] — раздел математической статистики, объ­единяющий практические мето­ды исследования регрессионной зависимости между величинами по данным статистических наблюдений. Ме­тод Р. а. состоит в выводе урав­нения регрессии (включая оценку его параметров) с помощью которого находится средняя ве­личина случайной переменной, если величина другой (или дру­гих, в случае множествен­ной или многофактор­ной регрессии) известна.

В отличие от этого корреля­ционный анализ применяется для нахождения и выражения тесноты связи между случайными величинами. Впрочем, распространена также бо­лее широкая трактовка Р. а., охватывающая и то, что здесъ на­звано корреляционным анализом. И, наконец, ряд авторов считает Р. а. частью теории корреляции как общей теории взаимоотноше­ний между случайными величи­нами.

Практически речь идет о том, чтобы, анализируя множество точек на графике (т. е. множе­ство статистических данных), найти линию, по возможности точно отражающую заключен­ную в этом множестве закономер­ность, тенденцию — линию регрессии. Для этого тре­буется наилучшим образом оце­нить параметры уравнения.

Существует ряд математико-статистических приемов, позво­ляющих решить эту задачу. В случаях, когда искомая законо­мерность может быть принята за линейную, наиболее эффективен метод наименьших квадратов.

Р. а. применяется в различ­ного рода экономических иссле­дованиях (производственные функ­ции, анализ эластичности спроса от цены и др.), особенно при анализе хозяйственной дея­тельности предприятий (для определения влияния отдель­ных факторов на результаты) и во многих других областях эко­номической науки и хозяйствен­ной практики.

Пример: средняя себестои­мость поковок в кузнечных це­хах московских заводов, по статистическим исследованиям, опи­сывалась уравнением регрессии

Y = 72,8+0,605 x₁ +0,082 x₂+0,834 x_{3 ,}

где х₁ — заработная плата на 1 т поковок;

x₂ — удельная ме­таллоемкость;

х₃ — удельные цеховые расходы.

Это уравнение означает, что лишний расход одного рубля заработной платы приведет (в среднем в большой массе наблюдений) к повышению себе­стоимости тонны поковок на 0,605 руб. Соответственно рас­считывается и влияние двух остальных факторов.

Регрессия [regression] -— за­висимость среднего значения ка­кой-либо случайной величины от некоторой другой величины или нескольких величин (в по­следнем случае — имеем мно­жественную Р.). Сле­довательно, при регрессионной связи одному и тому же значению х величины Х (в отличие от функциональной связи) могут соответствовать разные случайные значения величины Y. Рас­пределение этих значений назы­вается условным рас­пределением Y при дан­ном Х=x.

Уравнение, связывающее эти величины, называется урав­нением Р., а соответствую­щий график — линией Р. величины Y по X. Уравнение Р. (в линейной форме) для одного фактора («объясняющей» переменной)

Y = a₀ + a₁x

Здесь a₀, a₁ — параметры, которые оцениваются из статистических данных. Они назы­ваются коэффициентами регрессии.

В случае же совместного влия­ния на Y нескольких факторов (x₁, x₂,…, x_n) уравнение при­нимает вид

Y = a₀ + a₁x₁ +…+а_nx_n

Ретроспективный прогноз [retrospective prediction] — имитационный эксперимент, позволяющий прогнозировать дан­ные уже прошедшего периода и сопоставлять полученные зна­чения переменных имитацион­ной модели с известными (фак­тическими) данными. Если из­вестны воздействия на систему и результаты этих воздействий, т. е. фактическое развитие си­стемы за определенный период, то Р. п. покажет, приведут ли те же воздействия на имитацион­ную модель к аналогичным по­следствиям. В Р. п. сравнива­ются, таким образом, две траектории: траектория анализируе­мой переменной и траектория соответствующего показателя мо­делируемой реальной системы.

С

Сезонные колебания [seasonal fluctuations] — сезонная компонента временного ряда, на­кладываемая часто на основную тенденцию, тренд. Строго го­воря, термин «сезонные» не вполне точен, поскольку име­ются в виду периодические внутригодичные колебания эко­номических показателей, не обязательно связанные с природно-климатическими услови­ями (они могут объясняться также техническими, экономиче­скими, культурными факторами).

Для учета С. к. применяются метод простых сред­них (в случаях постоянства общей тенденции), метод скользящей средней, которым элиминируется тренд (когда С. к. «правильны», т. е. взаимно погашают друг друга на интервале сглаживания вре­менного ряда) и другие, более сложные методы. Часто сезон­ные колебания приближенно описываются синусоидами и другими тригонометрическими функциями.

Случайная величина [random value, random variable] — ве­личина, принимающая в зави­симости от случая те или иные значения с определенными веро­ятностями. Таким образом, ее значения образуют множество элементарных случайных собы­тий. Рассмотрим, например, простой опыт: пусть монета подбрасывается ровно 2 раза. При этом возможны четыре резуль­тата: (орел, орел), (орел, решка), (решка, орел), (решка, решка), которые и образуют множество элементарных событий.

С. в. бывают дискретные и непрерывные, в зависимости от того, какое множество событий — дискретное или непрерывное пробегают их значения. Рассмотренная выше С. в. — дискретная.

Для того, чтобы удобно было задавать непрерывные С. в., используют функцию распределения кумулятивного типа: F_X(x), т. е. вероятность того, что С. в. Х принимает значения меньшие или равные х. Она применима и к дискретным С. в., изучаемым математической ста­тистикой.

Спецификация модели [speci­fication of a model] — один из этапов построения экономико-математической модели, на ко­тором на основании предвари­тельного анализа рассматривае­мого экономического объекта или процесса в математической форме выражаются обнаруженные связи и соотношения, а также параметры и переменные, которые на данном этапе представляются существенными для цели исследо­вания. В эконометрических мо­делях производится также спе­цификация ошибки, т. е. выбор некоторого типа распределения для случайного элемента модели, подлежащего оцениванию.

Ошибкой специфи­кации называются: непра­вильный выбор типа связей и соотношений между элементами модели, выбор, в качестве суще­ственных, таких переменных и параметров, которые на самом деле таковыми не являются, а также отсутствие в модели некоторых существенных пере­менных.

Статистическая проверка гипотез [statistical verification of hypotheses, hypotesis testing] — понятие математической стати­стики, процедура обоснованного сопоставления высказанной гипо­тезы относительно природы или величины неизвестных статисти­ческих параметров анализируе­мого явления («с т а т и с т и ч еской гипотезы») с имею­щимися в распоряжении иссле­дователя выборочными данными (см. Выборка). Результат про­верки может быть либо отрица­тельным (данные наблюдения противоречат высказанной гипо­тезе), либо неотрицательным. В первом случае гипотеза оши­бочна, во втором ее нельзя счи­тать доказанной: просто она не противоречит имеющимся выбо­рочным данным, однако таким же свойством могут наряду с ней обладать и другие гипотезы.

Для С. п. г. используются раз­ные критерии. В математической статистике рассматриваются ги­потезы об общем виде закона распределения, исследуемой слу­чайной величины, об однородно­сти двух или нескольких обраба­тываемых выборок, о числовых значениях параметров исследуе­мой генеральной совокупности, об общем виде зависимости, суще­ствующей между компонентами исследуемого многомерного при­знака, о независимости и стацио­нарности ряда наблюдений.

Степени свободы [degrees of freedom]— 1. В анализе систем линейных уравнений — разность между числом независимых урав­нений и числом неизвестных. Если число С. с. равно нулю, то система имеет единственное решение.

2. В математической статистике — числа, показывающими количество элементов варьирования, которые могут принимать произвольные значения, не изменяющие заданных характеристик. Например, если дано 7 элементов со средней, равной 5, т. е. 35, и мы хотим подобрать другие 7 элементов с той же величиной средней, то произвольно можем взять только 6 элементов, так как 7-й должен вместе с ним дать ту же сумму 35. Значит, число С. с. здесь равно 7-1=6, или в общем случае: п —- 1. Число С. с. используется при статистической оценке гипотез (установлении согласия между теоретическими и опытными данными).

Структурная форма модели [structural form of a model] — такая форма представления эконометрической модели, в кото­рой в виде уравнений и тождеств записаны закономерные и слу­чайные (стохастические) соотно­шения между текущими и лаговыми переменными модели, от­ражающими наблюдаемые ис­следователем экономические явле­ния и процессы, а также другие ограничения модели и стохасти­ческие компоненты. Структурная форма для реше­ния модели обычно преобразу­ется в приведенную форму мо­дели.

Т

Точечный прогноз [point pre­diction] — прогноз, которым указывается единственное зна­чение прогнозируемого показа­теля. Пример: «население города N в 1990 г. достигнет 35 тыс. человек».

Транспонированная матрица [transposed matrix] — резуль­тат операции транспони­рования, т. е. перемены местами столбцов и строк исход­ной матрицы. Если исходная матрица [а_ij], то транспонированная по отношению к ней за­писывается [а_ji.].

Тренд [trend, time trend] —- длительная («вековая») тенден­ция изменения экономических показателей. Когда строятся эко­номико-математические модели прогноза, Т. оказывается первой, основной составляющей прогнозируемого временного ряда, на которую уже накладываются другие составляющие, например, сезонные колебания.

Трендовая модель [trend mоdel] — динамическая модель, в которой развитие моделируе­мой экономической системы отражается через тренд ее основных показателей (в частности, тренд средних величин этих по­казателей, их, мини­мальных или максимальных уровней).

У

Управляемая переменная [controlled variable] — переменная модели (оптимизационной модели, модели исследования oneраций), значения которой под­вергаются изменению в процессе поиска решения этой модели. Собственно, наличие управляе­мых переменных — главное, что отличает модели нормативного или конструктивного типа, в том числе оптимизационные, от описательных, дескриптивных моделей. Смысл решения задачи состоит в оты­скании такого вектора значений управляемых переменных, при котором достигается экстре­мум целевой функции.

Ф

Фактор [factor] — источник воздействия на систему, отра­жающегося на значении пере­менных модели этой системы. (Часто термины «Ф.» и «перемен­ная» отождествляются, что нельзя признать удачным).

Факторный анализ [factorial analysis] — область математической статистики (один из раз­делов многомерного статистиче­ского анализа), объединяющая вычислительные методы, кото­рые в ряде случаев позволяют получить компактное описание исследуемых явлений на основе обработки больших массивов информации. От других средств подобного «сжатия информации» (например, распространенных методов статистической группи­ровки объектов) Ф. а. отлича­ется тем, что не опирается на заранее заданный «априорный» перечень факторов, влияющих на изучаемые переменные, а на­оборот, при соблюдении опре­деленных правил и предосто­рожностей помогает обнаружить наиболее важные из этих факто­ров, причем скрытые (латентные). Скажем, экономист не­посредственно наблюдает мно­жество различных показателей статистического учета деятель­ности предприятий, чтобы вы­явить закономерности, влияющие на рост производительности труда (образовательный уровень рабочих, коэффициент сменности оборудования, электровоору­женность труда, возраст обору­дования, количество мест в сто­ловых и т. п.). Так или иначе все факторы, отражаемые этими показателями, воздействуют на изучаемый — на производитель­ность труда. При этом многие из них связаны между собой, порой отражая с разных сторон те же, по существу, явления. С помощью приемов Ф. а. этих связей (корреляций) удается об­наружить, что на самом деле решающее влияние на рост производительности труда ока­зывает лишь несколько обоб­щенных факторов (например, раз­мер предприятия, уровень орга­низации труда, характер про­дукции), непосредственно не на­блюдавшихся при исследовании. Собственно, это их действие и проявляется в учитываемых по­казателях. Задача состоит, сле­довательно, в том, чтобы выявить скрытые обобщенные факторы, которые в достаточной для дан­ного исследования степени объясняют изменения изучаемого показателя.

Выявленные факторы позво­ляют строить уравнения ре­грессии (см. также Регрессион­ный анализ) с относительно не­большим числом коэффициен­тов (и, следовательно, доступные для анализа). Знание этих фак­торов в дальнейшем также позво­ляет обоснованно включать их в качестве управляемых факто­ров (переменных) в модель эко­номического эксперимента, рас­считывать обобщенные индексы, характеризующие экономические явления и т.д.

Функция [function] — 1. Зависимая переменная величина; 2. Соответствие y = f (x) между переменными величинами, в силу которой каждому рассматривае­мому значению некоторой вели­чины х (аргумента или независи­мой переменной) соответствует определенное значение другой величины у (зависимой перемен­ной или Ф.).

Э

Экзогенные величины (экзо­генные факторы, пере­менные) [exogenous fac­tors] — внешние по отношению к моделируемой системе.

При использовании моделей в экономических расчетах все величины, характеризующие мо­делируемые объекты, подразде­ляют на экзогенные, или вход­ные (известные, рассчитывае­мые вне модели), и эндогенные, или выходные (неизвест­ные, определяемые в процессе решения экономической задачи). Например, если составляется модель народного хозяйства, то экзогенными факторами будут: изменения внешнеполитических обязательств, задачи укрепле­ния обороны, численность населения, климатические условия и др. (чаще всего их учитывают как ограничения модели). Про­тивоположный термин: эндо­генные величины, возникающие в пределах самой моделируемой системы. Разделение это зави­сит от характера, назначения модели.

Эконометрическая модель [eco­nometric model] — основное понятие эконометрики, эконо­мико-математическая модель, параметры, которой оцениваются с по­мощью методов математиче­ской статистики. Она высту­пает в качестве средства анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов как на макро-, так и на микроэкономи­ческом уровне на основе реаль­ной статистической информации. Наиболее распространены Э. м., представляющие собой системы регрессионных уравнений, в ко­торых отражается зависимость эндогенных величин (искомых) от внешних воздействий (текущих экзогенных величин) в условиях, описываемых оцениваемыми па­раметрами модели, а также лаговыми переменными. Кроме регрессионных (как ли­нейных, так и нелинейных) уравнений применяются и дру­гие математико-статистические модели.

Э. м. может быть представ­лена в двух формах: структур­ная форма модели и приведен­ная форма модели.

В наиболее общем виде любую Э. м., построенную в виде системы линейных уравнений (в приведенной форме), можно записать так:

p

y(t)=Ay(t) +  Zy(t-I)+ Сх (t) ,

I =1

где у — вектор текущих значений эндогенных переменных модели;

А — матрица коэффициентов взаимодействий между текущими значениями эндогенных переменных модели;

Z – матрица коэффициентов влияния запаздывающих (лаговых) переменных модели на текущие значения эндогенных и моделируемых показателей;

С – матрица коэффициентов внешних воздействий;

х – вектор значений экзогенных показателей модели;

t – индекс временного периода;

I – индекс запаздывания (лага);

p – продолжительность максимального лага.

В литературе подобные системы часто называют системами одновременных уравнений, имея в виду, что все переменные относятся к одному моменту времени. Однако обычно это подразумевается само собой и слово «одновременные» может быть опущено.

Эконометрика [econometrics] — научная дисциплина, предметом которой является изучение количественной сто­роны экономических явлений и процессов средствами математи­ческого и статистического ана­лиза. Это современное направ­ление экономической науки, от­личающееся от математической экономии применением кон­кретного числового материала. В Э. как бы синтезируются до­стижения теоретического ана­лиза экономики с достижениями математики и статистики (прежде всего математической стати­стики).

Сам термин «Э». происходит от двух слов: экономия и мет­рика, т. е. измерение.

Э. — одно из ответвлений комплекса научных дисциплин, объединяемого понятием — «экономико-математические ме­тоды». Ее главным инструмен­том является эконометрическая модель (как определенный вид экономико-математических мо­делей), задачей — проверка эко­номических теорий на фактиче­ском (эмпирическом) материале при помощи методов математи­ческой статистики.

Эконометрические методы при­меняются также для построения крупных эконометрических си­стем моделей, описывающих эко­номику той или иной страны и включающих в качестве состав­ных элементов производствен­ную функцию, инвестиционную функцию, а также уравнения, характеризующие движение за­нятости, доходов, цен и процент­ных ставок и другие блоки. Среди наиболее известных эко­нометрических систем подобного рода, по которым ведутся рас­четы на ЭВМ, — так называе­мый Брукингский проект (США), Голландская модель, используе­мая для прогнозирования и раз­работки экономической поли­тики. Приемы и методы Э. при­меняются также в анализе спроса и предложения.

Эта наука возникла в начале нынешнего века. Важный вклад в ее развитие внесли и советские экономисты. За последние де­сятилетия Э. обогатилась рядом методов, привнесенных в нее исследованием операций, линейным программированием, тео­рией графов, теорией игр и дру­гими современными дисципли­нами.

Экономико-математическая за­дача [economico-mathematical problem] — задача анализа, планирования, управления эко­номическим объектом, решаемая средствами математической формализации, т. е. на основе экономико-математической мо­дели. Термины «задача» и «мо­дель» в этом смысле весьма часто отождествляются, что, как вид­но из сказанного, не вполне точно.

Экономико-математическая мо­дель [economic model, economi­co-mathematical model] — ма­тематическое описание экономи­ческого процесса или объекта, произведенное в целях их ис­следования и управления ими: математическая запись решае­мой экономической задачи (поэ­тому часто термины модель и задача употребляются как сино­нимы). Существует еще несколько вариантов определе­ния этого термина. В самой об­щей форме модель — условный образ объекта исследования, сконструированный для упроще­ния этого исследования. При построении модели предполага­ется, что ее непосредственное изучение дает новые знания о мо­делируемом объекте. Все это полностью относится и к Э.-м. м.

В принципе в экономике при­менимы не только математиче­ские (знаковые), но и материаль­ные модели. Например, гидрав­лические (в которых потоки воды имитируют потоки денег и товаров, а резервуары отож­дествляются с такими экономиче­скими категориями, как объем промышленного производства, личное потребление и др.) и электрические (в США была из­вестна модель «Эконорама», представлявшая собой сложную электрическую схему, в которой имитировались экономические процессы). Но все эти попытки имели лишь демонстрационное применение, а не служили сред­ством изучения закономерностей экономики.

Э.-м. м. оказывается в этих условиях основным средством модельного исследования эко­номики. Модель может отражать внутреннюю структуру экономического объекта, а если она неизвестна, то лишь его поведение.

Во всех случаях необходимо чтобы модель содержала достаточно детальное описания объекта, позволяющее, в частности, осуществлять измерение экономических величин и их взаимосвязей, чтобы были выделены факторы, воздействующие на исследуемые показатели. Например, формула, по которой определяется на заводе потребность в материалах, исходя из норм расхода, есть Э.-м. м.

Если количество видов изделий обозначить через п, нормотивы расхода — a_i, количество изделий каждого вида — х_i., то модель запишется так

n

Z =  a_ix_i ,

1

где i = 1, 2, ..... п.

Кроме того, полезно записать условия, в которых она действительна, т. е. ограничения модели (напри­мер, лимиты на те или иные ма­териалы). Строго говоря, рас­чет по такой формуле не даст точного результата: потреб­ность в материалах может за­висеть также от случайных изме­нений в размерах брака и от­ходов, от страховых запасов и т. д. Но в общем, она зависит именно от указанных двух видов величии: норм расхода матери­ала и объемов выпуска продук­ции. Первые из них в данном случае называются параметрами модели, вторые — переменными модели.

Такая модель называется описательной, или дескриптив­ной; она описывает зависимость расхода (потребности в мате­риале), от двух факторов: ко­личества изделий и расходных норм. Большое значение в эко­номике имеют оптимизационные модели (или оптимальные). Они представляют собой системы уравнений, равенств и неравенств, которые кроме ограничений (ус­ловий) включают также особого рода уравнение, называемое функционалом или критерием оптимальности. С помощью та­кого критерия находят решение, наилучшее по какому-либо пока­зателю, например, минимум затрат на материалы при за­данном объеме продукции, или, наоборот, максимум продукции (или прибыли) при заданных ог­раничениях по ресурсам и т. д.

Например, можно попытаться найти такой план работы цеха, который при заданном объеме материалов (т. е. их расход не должен быть больше какой-то величины, допустим, В) гаран­тирует наибольший объем про­дукции. Единственное, что надо при этом знать дополнительно, — цену единицы продукции — р_i.. Тогда модель будет записываться так:

n

 p_ix_i →max

1

При условии

n

 a_ix_i  B

1

Кроме того, обязательно надо учесть, что искомые величины объемов производства каждого изделия не должны быть отри­цательными

x_i  0, i = 1, 2 , 3…, n.

Мы получили элементарную оптимизационную модель, отно­сящуюся к типу моделей линей­ного программирования. Решив эту модель, т. е. узнав значения всех x_i от 1-го до n-го, мы полу­чим искомый план.

Важное свойство Э-м. м. — их применимость к разным, на первый взгляд непохожим си­туациям. Например, если в при­веденном примере через a_i обоз­начить нормы внесения удобре­ний, а через x_i — размеры участ­ков, то та же самая формула по­кажет общий объем потребности в удобрениях. Точно такую же формулу можно применить к расчету затрат семьи на по­купку разных продуктов и во многих других случаях.

Модель может быть сформули­рована тремя способами: в ре­зультате прямого наблюдения и изучения некоторых явлений действительности (феноме­нологический спо­соб), вычленения из более об­щей модели (дедуктивный способ), обобщения более частных моделей (и н д у ктивный способ). Один и тот же объект может быть опи­сан различными моделями в за­висимости от исследовательской или практической потребности, возможностей математического аппарата и т. п. Поэтому всегда необходима оценка модели и области, в которой выводы из ее изучения могут быть достоверны.

Модели, в которых описыва­ется моментное состояние эконо­мики, называются статическими (от слова «с т а т и к а»). Те же, которые показывают развитие объекта моделирования, — динамическими. Модели могут строиться не только в виде фор­мул, как рассмотренные здесь (это называется аналити­ческое представле­ние модели), но и в виде число­вых примеров (численное представление) и в форме таблиц (м а т р и ч н о е представление), и в форме особого рода графов (сетевое представление модели). Соответственно различают модели числовые, аналитические, матритчные, сетевые.

Экономическая наука давно пользуется моделями. Одной из первых была модель воспроизводства, разработанная фран­цузским ученым Ф. Кенэ. Использование мо­делей— одна из главных осо­бенностей экономико-математи­ческого направления науки. Они применяются для анализа экономических процес­сов, прогнозирования и плани­рования во всех звеньях и на всех уровнях экономики, вплоть до планирования развития на­родного хозяйства страны в це­лом, особенно, перспективного. Их принято подразделять на две большие группы:

- модели, отражающие преиму­щественно производственный аспект плана;

- модели, отражающие преиму­щественно социальные аспекты плана.

Разумеется, такое деление в значительной степени условно, поскольку в каждой из моделей в той или иной степени сочета­ются производственный и со­циальный аспекты.

Из моделей первой группы можно назвать: модели долго­срочного прогноза сводных по­казателей экономического раз­вития; межотраслевые модели народнохозяйственного плани­рования; отраслевые модели оп­тимального планирования и раз­мещения производства, а также модели оптимизации структуры производства в отраслях.

Из моделей второй группы наи­более разработаны модели, свя­занные с прогнозированием и планированием доходов и потреб­ления населения, демографиче­ских процессов.

Существует большое число классификаций типов Э.-м. м., которые, однако, носят фраг­ментарный характер. И это, по-видимому, неизбежно, так как нереально охватить все многооб­разие социально-экономических задач, объектов и процессов, описываемых различными мо­делями.

В нашем словаре принята сле­дующая укрупненная классифи­кация.

1. Наиболее общее деление моделей — по способу отраже­ния действительности: