Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Шпоры по рядам

.doc
Скачиваний:
53
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
310.78 Кб
Скачать

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вопрос №1:

О.1: Ф-ция (x) наз. кусочно-непрерыв. на отр-ке [a;b], если она либо непрерыв. на этом отр-ке, либо имеет конеч. число тчк разрыва I-ого рода.

О.2: СКО ф-ции (x) от (x) на отр-ке [a;b] наз. число

Св-ва СКО: 1) (;) ≥ 0, (;)=0  (x)=(x) на [a;b] за искл. конеч. числа точек; 2) (;)=(;); 3) (;) ≤ (;)+(;), ,, – кусочно заданные ф-ции.

О.3: Скаляр. произв-ем 2-х ф-ций (x) и (x) на [a;b], (∙), наз. .

О.4: Нормой ф-ции (x) на [a;b] наз. число: .

О.5: Пос-ть ф-ций {n(x)} наз. ОСФ на [a;b], если две различ. ф-ции этой пос-ти ортогональ. и кажд. ф-ция из этой пос-ти имеет норму ≠ 0.

О.6: Пос-ть ф-ций , т.е. , ортогональ. на [a;b] наз. ОНСФ на [a;b].

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вопрос №2:

О.1: Пусть {i(x)} – ОНСФ на [a;b]. Рядом Фурье для кусочно-непрерыв. на отр-ке [a;b] ф-ции (x) наз. ряд , где Ci – коэф-ты Фурье ф-ции (x) , .

Трм.1: Min св-во коэф-тов Фурье. Из всех лин. комб-ций Sn(x) = k11(x) + k22(x)+… + knn(x) при фикс. n наименьшее СКО от (x) на [a;b] имеет n-ая частич. сумма ряда Фурье: Sn*=C11(x)+C22(x)+…+Cnn(x). Док-во:2(;Sn) = + min возможен лишь тогда, когда .

Сл-ие1:

Сл-ие2: Пос-ть СКО явл. невозраст. ф-цией и (x) – кусочно-непрерыв. ф-ции на [a;b] и nN имеет место:  ряд – сх-ся, т.к. все его частич. суммы ограничены.

Трм.2: О нер-ве Бесселя. Ряд , Ci – коэф-ты Фурье для ф-ции (x), сх-ся и имеет место нер-во Бесселя . Док-во: т.к. прав. часть нер-ва: не зависит от n и известно, что ряд сх-ся, то при n→, мы получаем искомое нер-во Бесселя, ■

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вопрос №3:

О.1: Пос-ть {n(x)} кусочно-непрерыв. ф-ций на отр-ке [a;b] наз. сх-ся в среднем к своей предел. ф-ции (x) при n→, если пос-ть СКО {(n;)} сх-ся к 0 при n→ и x[a;b].

Трм.1: О сх-ти в среднем и равномер. сх-ти пос-ти ф-ций. Если пос-ть кусочно-непрерыв. ф-ций {n(x)} сх-ся равномерно на [a;b] к (x), то эта пос-ть сх-ся в среднем на [a;b] к (x). Док-во: Пусть . Покажем, что . (x)[a;b],  возможен предельный переход под знаком интеграла: , ■

Трм.2: Критерий сх-ти в среднем ряда Фурье. Для того, чтобы ряд Фурье для кусочно-непрерыв. ф-ции (x) на отр-ке [a;b] сх-ся в среднем н. и д., чтобы имело место рав-во Парсеваля: . Док-во: Пусть – частич. сумма ряда Фурье. Тогда . След-но, , , ■

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вопрос №4:

О.1: ОНСФ {i(x)} на [a;b] наз. замкнутой в мно-ве кусочно-непрерыв. ф-ций, если ряд Фурье для произволь. кусочно-непрерыв. на [a;b] ф-ции (x) сх-ся в среднем к этой ф-ции.

Трм.1: О полноте замкнутой ОНСФ. если кусочно-непрерыв. на [a;b] ф-ция (x) ортогональ. к кажд. ф-ции замкнутой ОНСФ {i(x)}, то (x)=0 на [a;b], за искл. может быть конеч. числа точек. Док-во: Если ф-ция ортогональ. кажд. ф-ции данной ОНСФ {i(x)}, то , т.е. все коэф-ты Фурье ф-ции (x) равны 0. Тогда в силу рав-ва Парсеваля: .

Сл-ие1: Всякая ф-ция, равная 0 на [a;b] за искл. быть может конеч. числа точек, ортогональ. к  ф-ции данной ОНСФ {i(x)}.

Сл-ие2: Замкнутую ОНСФ невозможно дополнить новой ф-цией так, чтобы полученная сис-ма продолжала оставаться ортогональной.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вопрос №5:

Трм.1: О рав-ве ф-ций с одним и тем же рядом Фурье. Если две кусочно-непрерыв. на [a;b] ф-ции (x) и F(x) имеют один и тот же ряд Фурье в замкнутой ОНСФ (одной и той же), то эти ф-ции равны на [a;b] за искл. может быть конеч. числа точек. Док-во: Если (x) и F(x) имеют один и тот же ряд Фурье, то пос-ть {Sn} его частич. сумм сх-ся в среднем к этим ф-циям: и  (x)=F(x) за искл. конеч. числа точек.

Трм.2: О сх-ти ряда Фурье. Если в замкнутой ОНСФ ряд Фурье для (x) сх-ся равномерно на [a;b], то его сумма равна этой ф-ции (x) за искл. может быть конеч. числа точек. В частности, если ф-ции данной ОНСФ {i(x)} и (x) непрерыв., и ряд Фурье для (x) сх-ся равномерно на [a;b], то его сумма равна (x) всюду на [a;b]. Док-во: Если пос-ть частич. сумм {Sn} ряда Фурье сх-ся равномерно к F(x) на [a;b], то {Sn} сх-ся в среднем к F(x): . Но с др. стороны {Sn} сх-ся в среднем к (x) (по усл-ию),  , тогда (x)=F(x) за искл. может быть конеч. числа точек.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вопрос №6

О.1: Рас-рим пос-ть 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, … , cosnx, sinnx (1). Она явл. ОСФ на [a;a+2], aR. А пос-ть (2) образует на [a;a+2], aR, ОНСФ. Тогда для всякой кусочно-непрерыв. ф-ции сущ-ет тригонометрич. ряд Фурье на [a;a+2]: , где , n = 0, 1, 2 … ; и , n = 1, 2, 3 … Коэф-ты an и bn наз. тригонометрич. коэф-тами Фурье в ОНС (1). Тогда в ОНСФ(2) мы имеем: , а , . Применим к ОНСФ (2) нер-во Бесселя: .

Для  кусочно-непрерыв. на [a;a+2] ф-ции (x) пос-ти {an} и {bn} сх-ся к 0, т.е. и . Значит, , . Сл-ие: Для  кусочно-непрерыв. на [a;b] ф-ции (x) вып-ся: и . Док-во: 1) Если ba = 2 – рав-ва очевидны. 2) 0 < ba < 2. Тогда если (x)=(x) на [a;b] и (x)=0 на (b;a+2], то рав-ва очевидны. 3) ba > 2. Откладываем крат. число инт-лов 2π и приходим к пункту 2).

О.2: Пусть есть кусочно-непрерыв. на [a;a+2] ф-ция (x). Тогда определим ф-цию *(x): , kZ. Эту ф-цию *(x), определён. на всей действ. оси назовём период. продолжением ф-ции (x) с периодом 2 на всю действ. ось. Замечание: =; . Из этих рав-в следует, что (x) можно заменить, не меняя знач-ия её коэф-тов Фурье, период. продолжением и *(x) и рассматривать его на любом промежутке длины 2π.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вопрос №7

Рас-рим тригонометрич. ряд Фурье для кусочно-непрерыв. ф-ции (x) на кажд. конеч. отр-ке 2: . Тогда akcoskx + bksinkx = . Рас-рим частич. сумму: + =. Это и есть интегральное представление частич. суммы ряда Фурье. Разобьём [-;] на две части, тогда: =. Теперь если (x)1, то все коэф-ты Фурье кроме a0 обратятся в 0. Отсюда тожд-во:(*).

Трм.1: О сх-ти тригонометрич. ряда Фурье. Если период. с периодом 2 ф-ция (x) и ее про-ная (x) кусочно-непрерыв. на  конеч. отр-ке действ. оси, то ряд Фурье для этой ф-ции (x) сх-ся в кажд. тчк x к среднему арифметич. односторон. пределов ф-ции(x) в этой точке x. Док-во: воспользуемся тожд-вом (*). Тогда: Теперь дост-но показать, что . I) Рас-рим первый интеграл:. Пусть . В тчк t=0 F(t) имеет устранимый разрыв, т.к. . Отсюда и из усл-ий трм след., что F(t) – кусочно-непрерыв. на [0;]. Т.о. = , т.к. и . Т.о. . II) По аналогии: . Значит, , ■

Сл-ие: Если при соблюдении всех усл-ий трм1 ф-ция – непрерыв., то ряд Фурье для неё сх-ся к значению этой ф-ции в люб. точке x.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вопрос №8

Рас-рим кусочно-непрерыв. ф-ции с произволь. периодом 2l. Тогда их ОНСФ выглядит: . А согласно опр-нию тригонометрич. ряда Фурье, для кусочно-непрерыв. на [–l,l] функции (x) имеем: , где , . Трм о сх-ти тригонометрич. ряда Фурье к ф-ции (x) остаётся справ-вой и для период. ф-ции (x) с периодом 2l. Рас-рим случай чётных и нечётных период. ф-ций с периодом T=2π: 1) (x) = (–x),  ; 2) (x) = –(–x),  .

Трм.1: О равномер. сх-ти ряда Фурье. Если период. ф-ция с основным периодом 2 непрерыв. на всей действ. оси и имеет кусочно-непрерыв. про-ную, то её ряд Фурье сх-ся равномерно x(–;+). Док-во: Пусть 1<2<…<n – точки разрыва про-ной ф-ции (x), содержащиеся в (–;). Тогда интегрируя по частям и учитывая, что (–)=(), мы получим: =. Коэф-ты тригонометрич. ряда Фурье an, bn и и an, bn для ф-ций (x) и (x) связаны соотношением: и . Тогда для общего члена ряда мы получаем след. оценку: |ancosnx + bnsinnx| ≤ |an| + |bn| =,  по трм. о св-вах тригонометрич. ряда Фурье – сх-ся,  по пр-ку Вейерштрасса ряд наш Фурье сх-ся равномерно но (–;+), ■

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

1