Шпоры по рядам
.doc-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Вопрос №1:
О.1: Ф-ция (x) наз. кусочно-непрерыв. на отр-ке [a;b], если она либо непрерыв. на этом отр-ке, либо имеет конеч. число тчк разрыва I-ого рода.
О.2:
СКО
ф-ции (x)
от (x)
на отр-ке [a;b]
наз. число
Св-ва СКО: 1) (;) ≥ 0, (;)=0 (x)=(x) на [a;b] за искл. конеч. числа точек; 2) (;)=(;); 3) (;) ≤ (;)+(;), ,, – кусочно заданные ф-ции.
О.3:
Скаляр.
произв-ем
2-х ф-ций (x)
и (x)
на [a;b],
(∙),
наз.
.
О.4:
Нормой
ф-ции (x)
на [a;b]
наз. число:
.
О.5: Пос-ть ф-ций {n(x)} наз. ОСФ на [a;b], если две различ. ф-ции этой пос-ти ортогональ. и кажд. ф-ция из этой пос-ти имеет норму ≠ 0.
О.6:
Пос-ть ф-ций
,
т.е.
,
ортогональ. на [a;b]
наз. ОНСФ
на [a;b].
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Вопрос №2:
О.1:
Пусть {i(x)}
– ОНСФ на [a;b].
Рядом
Фурье для
кусочно-непрерыв. на отр-ке [a;b]
ф-ции (x)
наз. ряд
,
где Ci
– коэф-ты Фурье ф-ции (x)
,
.
Трм.1:
Min
св-во коэф-тов Фурье.
Из всех лин. комб-ций Sn(x)
= k11(x)
+ k22(x)+…
+ knn(x)
при фикс. n
наименьшее СКО от (x)
на [a;b]
имеет n-ая
частич. сумма ряда Фурье:
Sn*=C11(x)+C22(x)+…+Cnn(x).
Док-во:
2(;Sn)
=
+
min
возможен лишь тогда, когда
.
Сл-ие1:
Сл-ие2:
Пос-ть СКО
явл. невозраст. ф-цией и (x)
– кусочно-непрерыв. ф-ции на [a;b]
и nN
имеет место:
ряд
–
сх-ся, т.к. все его частич. суммы ограничены.
Трм.2:
О
нер-ве Бесселя.
Ряд
,
Ci
– коэф-ты Фурье для ф-ции (x),
сх-ся и имеет место нер-во Бесселя
.
Док-во:
т.к. прав. часть нер-ва:
не зависит от n
и известно, что ряд сх-ся, то при n→,
мы получаем искомое нер-во Бесселя, ■
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Вопрос №3:
О.1: Пос-ть {n(x)} кусочно-непрерыв. ф-ций на отр-ке [a;b] наз. сх-ся в среднем к своей предел. ф-ции (x) при n→, если пос-ть СКО {(n;)} сх-ся к 0 при n→ и x[a;b].
Трм.1:
О
сх-ти в среднем и равномер. сх-ти пос-ти
ф-ций. Если
пос-ть кусочно-непрерыв. ф-ций {n(x)}
сх-ся равномерно на [a;b]
к (x),
то эта пос-ть сх-ся в среднем на [a;b]
к (x).
Док-во:
Пусть
.
Покажем, что
.
(x)[a;b],
возможен предельный переход под знаком
интеграла:
,
■
Трм.2: Критерий
сх-ти в среднем ряда Фурье.
Для того, чтобы ряд Фурье для
кусочно-непрерыв. ф-ции (x)
на отр-ке [a;b]
сх-ся в среднем н. и д., чтобы имело место
рав-во
Парсеваля:
.
Док-во:
Пусть
–
частич. сумма ряда Фурье. Тогда
.
След-но,
,
,
■
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Вопрос №4:
О.1: ОНСФ {i(x)} на [a;b] наз. замкнутой в мно-ве кусочно-непрерыв. ф-ций, если ряд Фурье для произволь. кусочно-непрерыв. на [a;b] ф-ции (x) сх-ся в среднем к этой ф-ции.
Трм.1:
О
полноте замкнутой ОНСФ.
если кусочно-непрерыв. на [a;b]
ф-ция (x)
ортогональ. к кажд. ф-ции замкнутой ОНСФ
{i(x)},
то (x)=0
на [a;b],
за искл. может быть конеч. числа точек.
Док-во:
Если ф-ция ортогональ. кажд. ф-ции данной
ОНСФ {i(x)},
то
,
т.е. все коэф-ты Фурье ф-ции (x)
равны 0. Тогда в силу рав-ва Парсеваля:
.
Сл-ие1: Всякая ф-ция, равная 0 на [a;b] за искл. быть может конеч. числа точек, ортогональ. к ф-ции данной ОНСФ {i(x)}.
Сл-ие2: Замкнутую ОНСФ невозможно дополнить новой ф-цией так, чтобы полученная сис-ма продолжала оставаться ортогональной.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Вопрос №5:
Трм.1:
О
рав-ве ф-ций с одним и тем же рядом Фурье.
Если две кусочно-непрерыв. на [a;b]
ф-ции (x)
и F(x)
имеют один и тот же ряд Фурье в замкнутой
ОНСФ (одной и той же), то эти ф-ции равны
на [a;b]
за искл. может быть конеч. числа точек.
Док-во:
Если (x)
и F(x)
имеют один и тот же ряд Фурье, то пос-ть
{Sn}
его частич. сумм сх-ся в среднем к этим
ф-циям:
и
(x)=F(x)
за искл. конеч. числа точек.
Трм.2:
О
сх-ти ряда Фурье.
Если в замкнутой ОНСФ ряд Фурье для (x)
сх-ся равномерно на [a;b],
то его сумма равна этой ф-ции (x)
за искл. может быть конеч. числа точек.
В частности, если ф-ции данной ОНСФ
{i(x)}
и (x)
непрерыв., и ряд Фурье для (x)
сх-ся равномерно на [a;b],
то его сумма равна (x)
всюду на [a;b].
Док-во:
Если пос-ть частич. сумм {Sn}
ряда Фурье сх-ся равномерно к F(x)
на [a;b],
то {Sn}
сх-ся в среднем к F(x):
.
Но с др. стороны {Sn}
сх-ся в среднем к (x)
(по усл-ию),
,
тогда (x)=F(x)
за искл. может быть конеч. числа точек.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Вопрос №6
О.1: Рас-рим
пос-ть 1, cosx,
sinx,
cos2x,
sin2x,
… , cosnx,
sinnx
(1).
Она явл. ОСФ на [a;a+2],
aR.
А пос-ть
(2)
образует на [a;a+2],
aR,
ОНСФ. Тогда для всякой кусочно-непрерыв.
ф-ции сущ-ет тригонометрич.
ряд Фурье
на [a;a+2]:
,
где
,
n
= 0, 1, 2 … ; и
,
n
= 1, 2, 3 …
Коэф-ты an
и bn
наз. тригонометрич.
коэф-тами Фурье
в ОНС (1).
Тогда в ОНСФ(2) мы имеем:
,
а
,
.
Применим к ОНСФ (2) нер-во Бесселя:
.
Для
кусочно-непрерыв. на [a;a+2]
ф-ции (x)
пос-ти {an}
и {bn}
сх-ся к 0, т.е.
и
.
Значит,
,
.
Сл-ие:
Для
кусочно-непрерыв. на [a;b]
ф-ции (x)
вып-ся:
и
.
Док-во:
1)
Если b–a
= 2
– рав-ва очевидны. 2)
0 < b–a
< 2.
Тогда если (x)=(x)
на [a;b]
и (x)=0
на (b;a+2],
то рав-ва очевидны. 3)
b–a
> 2.
Откладываем крат. число инт-лов 2π
и приходим к пункту 2).
О.2:
Пусть есть кусочно-непрерыв. на [a;a+2]
ф-ция (x).
Тогда определим ф-цию *(x):
, kZ.
Эту ф-цию *(x),
определён. на всей действ. оси назовём
период.
продолжением
ф-ции (x)
с периодом 2
на всю действ. ось. Замечание:
=
;
.
Из этих рав-в следует, что (x)
можно заменить, не меняя знач-ия её
коэф-тов Фурье, период. продолжением и
*(x)
и рассматривать его на любом промежутке
длины 2π.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Вопрос №7
Рас-рим тригонометрич.
ряд Фурье для кусочно-непрерыв. ф-ции
(x)
на кажд. конеч. отр-ке 2:
.
Тогда akcoskx
+ bksinkx
=
.
Рас-рим частич. сумму:
+
=
.
Это и есть интегральное
представление частич. суммы ряда Фурье.
Разобьём [-;]
на две части, тогда:
=
.
Теперь если (x)1,
то все коэф-ты Фурье кроме a0
обратятся в 0. Отсюда тожд-во:
(*).
Трм.1:
О
сх-ти тригонометрич. ряда Фурье.
Если период. с периодом 2
ф-ция (x)
и ее про-ная (x)
кусочно-непрерыв. на
конеч. отр-ке действ. оси, то ряд Фурье
для этой ф-ции (x)
сх-ся в кажд. тчк x
к среднему арифметич. односторон.
пределов ф-ции(x)
в этой точке x.
Док-во:
воспользуемся тожд-вом (*). Тогда:
Теперь дост-но показать, что
.
I)
Рас-рим первый
интеграл:
.
Пусть
.
В тчк t=0
F(t)
имеет устранимый разрыв, т.к.
.
Отсюда и из усл-ий трм след., что F(t)
– кусочно-непрерыв. на [0;].
Т.о.
=
,
т.к.
и
.
Т.о.
.
II)
По аналогии:
.
Значит,
,
■
Сл-ие: Если при соблюдении всех усл-ий трм1 ф-ция – непрерыв., то ряд Фурье для неё сх-ся к значению этой ф-ции в люб. точке x.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Вопрос №8
Рас-рим
кусочно-непрерыв. ф-ции с произволь.
периодом 2l.
Тогда их ОНСФ выглядит:
.
А согласно опр-нию тригонометрич. ряда
Фурье, для кусочно-непрерыв. на [–l,l]
функции (x)
имеем:
,
где
,
.
Трм о сх-ти тригонометрич. ряда Фурье к
ф-ции (x)
остаётся справ-вой и для период. ф-ции
(x)
с периодом 2l.
Рас-рим случай чётных и нечётных период.
ф-ций с периодом T=2π:
1)
(x)
= (–x),
;
2)
(x)
= –(–x),
.
Трм.1:
О
равномер. сх-ти ряда Фурье.
Если период. ф-ция с основным периодом
2
непрерыв. на всей действ. оси и имеет
кусочно-непрерыв. про-ную, то её ряд
Фурье сх-ся равномерно x(–;+).
Док-во:
Пусть 1<2<…<n
– точки разрыва про-ной ф-ции (x),
содержащиеся в (–;).
Тогда интегрируя по частям и учитывая,
что (–)=(),
мы получим:
=
.
Коэф-ты тригонометрич. ряда Фурье an,
bn
и и an,
bn
для ф-ций (x)
и (x)
связаны соотношением:
и
.
Тогда для общего члена ряда мы получаем
след. оценку: |ancosnx
+ bnsinnx|
≤ |an|
+ |bn|
=
,
по трм. о св-вах тригонометрич. ряда
Фурье
–
сх-ся,
по пр-ку Вейерштрасса ряд наш Фурье
сх-ся равномерно но (–;+),
■
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------