4 Задание 2. Сравнение геологических объектов

4.1 Цель работы

Научиться методами математической статистики сравнивать средние и дисперсии геологических и геофизических признаков с целью выяснения случайности или неслучайности их различия.

4.2 Основные теоретические положения

В геологической практике часто возникает необходимость сравнения средних и дисперсий признаков с целью выяснения случайности или неслучайности их различия. Задачи такого рода решаются путём проверки статистических гипотез.

Гипотеза о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей:

при конкурирующей гипотезе:

проверяется с помощью критерия

. (4.1)

В условиях нулевой гипотезы величина F имеет распределение Фишера - Снедекора со степенями свободы k₁=N₁-1 и k₂=N₂-1, где N₁–объем выборки, по которой вычислена большая дисперсия , N₂ – объем выборки, по которой найдена меньшая дисперсия . Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через F_набл. По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора (приложение 2) для уровня значимости /2 (вдвое меньше заданного) и числа степеней свободы k₁ и k₂ необходимо найти критическую точку F_кр( /2, k₁, k₂). Если F_набл. F_кр( /2, k₁, k₂), то нет основания отвергнуть нулевую гипотезу. Если F_набл.F_кр( /2, k₁, k₂) - нулевую гипотезу отвергают, другими словами, дисперсии нормальных генеральных совокупностей различаются значимо.

Гипотеза о равенстве двух средних для нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и, предположительно, одинаковы: при конкурирующей гипотезе:

проверяется с помощью критерия:

, (4.2)

где , - выборочные дисперсии, и - выборочные средние, найденные по независимым малым выборкам объема N₁ и N₂ соответственно.

В условиях нулевой гипотезы величина t имеет распределение Стьюдента с k=N₁+N₂-2 степенями свободы. Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через t_набл. По таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 1) для заданного уровня значимости  и числа степеней свободы k необходимо найти критическую точку t_кр(; k). Если |t_набл.|  t_кр(; k) – отвергнуть нулевую гипотезу нет оснований. Если |t_набл.|  t_кр(; k) – нулевую гипотезу отвергают, другими словами, выборочные средние нормальных генеральных совокупностей различаются значимо.

4.3 Пример. Показать случайно или закономерно наблюдаемое различие глубин залегания (в м) подошвы соленосного комплекса Кунгура в Прикаспийской синеклизе по данным бурения и сейсморазведки (табл. 4.1).

Таблица 4.1

Данные бурения	2300	2395	3103	2861	3750	3733	3856	3762	4384
Данные МОВ	2350	2000	3050	2640	3400	3790	3580	3400	3870

Данные бурения	4220	4687	5390	5390	925	4880	3140	3670	3662	3706	3920	4818
Данные МОВ	3920	4000	4600	4600	950	4840	3290	3370	3320	3600	3400	4500

Решение: 1. Вычислим оценки средних и дисперсий по формулам (3.1) и (3.2): ; м.; м²; м².

2. Проверим нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий . По формуле 4.1 вычислим F_набл. F_набл = 811905:565477=1,44. Зададимся уровнем значимости =0,1, достаточным для решения практических задач геологии и по таблице приложения 2 при степенях свободы k₁=21-1=20 и k₂=21-1=20 найдем критическую точку F_кр(0,05; 20; 20)2,13. Таким образом, с вероятностью 90 % различие дисперсий изучаемых совокупностей несущественно.

3. Сравним генеральные средние, проверив гипотезу . По формуле 4.2 вычислим t _набл: t _набл 0,97. По таблице приложения 1 для уровня значимости =0,1 и числа степеней свободы k=21+21-2=40 найдем критическую точку t_кр(0,1; 40)=1,68. Так как |t_набл|  t_кр – отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних нет оснований, другими словами, выборочные средние различаются незначимо. Таким образом, с доверительной вероятностью 90% на современной стадии изученности средние значения глубин по данным бурения и сейсморазведки совпадают. Следовательно, наблюдаемые в таблице 4.1 различия глубин залегания подошвы соленосного комплекса кунгура в Прикаспийской синеклизе по данным бурения и сейсморазведки носят случайный характер.