3.2 Основные теоретические положения

Полное статистическое описание случайных величин дают функции распределения F(х) и плотности вероятностей Р(х). Но при решении ряда задач можно ограничиться параметрами распределений: математическим ожиданием , дисперсией ² (или средним квадратичным отклонением ), асимметрией, эксцессом и т. д. Все перечисленные функции и параметры – понятия теоретические.

При статистическом анализе геологических признаков по наблюденным значениям находят оценки (приближенные значения) функций F(х) или Р(х) и параметров , ².

Для получения оценки функции Р(х), наблюденные значения какого-либо параметра Х (варианты) вначале сортируют по возрастанию и находят максимальную и минимальную варианты. Затем интервал, в котором лежат все замеренные значения Х, делят на более мелкие, частичные интервалы х_i, число которых принимается не больше 20-25. И, наконец, определяется количество значений случайной величины Х, попавших в каждый i-ый частичный интервал n_i. Обозначим за N – число всех измерений Х, тогда имеет место: . Величины n_i называются частотами. Отношения: называются относительными частотами. Они могут быть выражены в процентах: w_i= . Величины w_i показывают, какой процент измерений из общего объема наблюдений лежит в i-ом частичном интервале.

По выбору частичных интервалов сделаем следующие замечания. Лучше всего их принимать равными, так как только в этом случае лучше всего выявляется закономерность изменения частот с изменением значений Х. Кроме того, при неравных х_i =1, 2,… применение многих более глубоких статистических приемов оказывается невозможным. Частичный интервал х следует брать с учетом объема измерений N, характера изменения частот и решаемых задач. Если окажется, что частоты соседних интервалов весьма значительно отличаются одна от другой, следует увеличить величину х.

Для придания построенным рядам более наглядного вида применяют их графическое изображение в виде гистограмм. Гистограммой частот называют ступенчатый график, на котором по оси абсцисс отложены частичные интервалы, а по оси ординат – соответствующие n_i или w_i. Плотностью частоты р_ni (или частости р _i) называют отношение частоты n_i (или частости _i) к длине частичного интервала: р_ni= n_i/х.

Построенные таблицы и графики дают первое представление о форме законов распределения. Следующая задача более глубокого изучения случайных величин основана на оценке параметров распределений. Одной из оценок математического ожидания является среднее арифметическое, определяемое по формуле:

. (3.1)

В качестве оценки дисперсии используется среднее арифметическое квадратов отклонений значений х_i, i=1, 2,…, N от :

. (3.2)

Среднее квадратичное отклонение S равно корню квадратному из дисперсии .

3.3 Пример. Имеются данные искажений (помехи) годографов преломленных волн (мс), полученные в Пуровском районе

-6 -27 -14 -5 -2 7 0 -26 -13 -9 4 8 16 20 23 -10 -1 -7 7 5

-8 14 18 12 -17 0 -4 2 12 5 -9 -14 -16 -10 2 3 9 8 -2 1

-2 5 -9 -12 -10 2 3 5 2 9 5 10 9 1 2 9 -4 -8 -3 -6

-2 -6 -8 -2 3 8 -1 -12 -15 2 3 0 2 4 5 7 11 16 2 4

1 -2 -6 -9 -7 -6 -3 -6 -9 -2 6 13 10 7 9 -18 -1 1 -2 -5

Оценить параметры распределения: математическое ожидание, дисперсию и построить гистограмму.

Статистическое описание начинается с нахождения минимальной и максимальной вариант, в рассматриваемом примере _min=-27, _max=23. Затем исходная выборка группируется в интервальную таблицу (табл. 3.1). Для этого вычисляется размах варьирования R = x_max- x_min, который делится на выбранное число интервалов k (k =10), длина каждого интервала х= округляется до ближайшего наибольшего целого числа. Затем находится число вариант в каждом интервале (табл. 3.1). На основе этой таблицы частот построена гистограмма (рис. 3.1).