Методические материалы к разделу «спектральный анализ сигналов» Преобразование Фурье, ряды Фурье

1 Расчет спектров типовых сигналов

Расчет спектров типовых сигналов. Прямые и обратные преобразования Фурье для сигнала, заданного его математической моделью S(t) имеет вид:

где, S(jw)- спектральная плотность;

S(t) – математическая модель сигнала.

Обычно преобразование Фурье записывается для сигнала ограниченной энергии или абсолютного интегрируемого сигнала.

В этом случае спектральная плотность S(jw) представляет непрерывную функцию частоты.

Для периодических сигналов наиболее часто используют комплексный ряд Фурье:

где, S(t) – периодическая последовательность;

S₀(t) – модель одиночного сигнала, из которого периодическим повторением получают последовательности;

С_n – коэффициент комплексного ряда Фурье;

- частота основного тона;

n – номер гармоники.

2 Пример расчета спектральных характеристик сигнала

Дано: математическая модель сигнала имеет вид:

E₀=1B, τ_Ф1=10^-7с, τ_u=10^-4c, τ_Ф2=10^-7c.

Это колебание в виде одиночного импульса трапецеидальной формы. Трапецеидальный импульс относится к гладким функциям, для него преобразование Фурье может быть найдено переходом от преобразования Лапласа, для которого имеются таблицы соответствия оригиналов и изображении в любом учебнике по теории цепей в приложении. Однако, с учетом заданных значении параметров можно математическую модель сигнала приближенно представить прямоугольным импульсом, для которого достаточно просто находится прямое преобразование Фурье:

Эта математическая модель не является гладкой. Ее можно отнести к кусочно-гладким функциям, для которой также выполняется соответствие преобразования Фурье и Лапласа:

Используя тригонометрические преобразования можно записать:

Амплитудный спектр представляет собой модуль спектральной плотности:

Подставив значения, можно записать:

Учитывая, что при х<<1(рад), Sin x=x. Максимум спектральной плотности на нулевой частоте:

E(0)=

Характерными частотами являются частоты нулей f₀ спектральной плотности, где синус обращается в нуль:

График амплитудного спектра выглядит таким образом

1*10^-5

2*10^-5

3*10^-5

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

F(кГц)

5*10^-5

Задачи для самостоятельного решения Рассчитать и построить амплитудный и фазовый спектр сигналов для заданных ниже параметров и математических модулей.

Таблица 3.1

N варианта	Мат. Модель Сигнала	E0,B	α, 1/c	Tu, c	TФ1,с	Т,с	ТФ2,с	f0, Гц
1	Е1(t)	10	1	10-3	-	-	-	-
2	Е2(t)	5	-	10-3	-	-	-	-
3	Е3(t)	5	-	10-3	-	-	-	-
4	Е4(t)	5	-	10-3	10-6	-	-	-
5	Е5(t)	10	-	-	-	10-3	-	-
6	Е6(t)	5	-	10-3	10-6	-	10-6	-
7	Е7(t)	10	-	-	-	10-3	-	-
8	Е8(t)	5	-	-	-	10-3	-	-
9	Е9(t)	10	-	-	-	10-3	-	-
10	Ее10(t)	5	-	-	-	10-3	-	-
11	Е11(t)	10	1	-	-	-	-	159*103
12	Ее12(t)	5	-	10-3	-	-	-	159*103
13	Е13(t)	5	-	10-3	-	-	-	159*103
14	Е14(t)	5	-	10-3	10-6	-	-	159*103
15	Е15(t)	10	-	-	-	10-3	-	159*103
16	Е16(t)	5	-	-	-	-	10-6	159*103
17	Е17(t)	10	-	-	-	10-3	-	159*103
18	Е18(t)	5	-	-	-	10-3	-	159*103
19	Е19(t)	10	-	-	-	10-3	-	159*103
20	Е20(t)	5	-	-	-	10-3	-	159*103
21	Е21(t)	10	1	10	-	10	-	-
22	Е22(t)	5	-	10-3	-	5*10-3	-	-
23	Е23(t)	5	-	10-3	-	5*10-3	-	-
24	Е24(t)	5	-	10-3	10-6	5*10-3	-	-
25	Е25(t)	10	-	-	-	10-3	-	-
26	Е26(t)	5	-	10-3	10-6	5*10-3	10-6	-
27	Е27(t)	10	1	10	-	-	-	159*103
28	Е28(t)	5	-	10-3	-	-	-	159*103
29	Е29(t)	5	-	10-3	-	-	-	159*103
30	Е30(t)	5	-	10-3	10-6	-	-	159*103