Свойства z-преобразования
Свойства Z-преобразования и преобразования Фурье и Лапласа сходны между собой [1].
Линейность
Это свойство можно сформулировать так:
Взвешенной сумме дискретных последовательностей соответствует взвешенная сумма Z-преобразований этих последовательностей.
Вместо того чтобы для отсчетов сигнала записывать прямое Z-преобразование (15) и по известному Z-преобразованию последовательности (20) восстанавливать отсчеты исходной последовательности будем ставить знак соответствия между отсчетами последовательности и ее Z- преобразование:
(38)
Задержка
Задержка
последовательности на k0
тактов соответствует умножение
Z-преобразование
исходной последовательности на
,
то есть
(39)
Свертка
Дискретной свертке двух последовательностей соответствует перемножение их Z-преобразований:
или
(40)
Для инвариантной к сдвигу линейной дискретной системы выходная последовательность определяется дискретной сверткой входной последовательности и дискретной импульсной характеристики: (11):
Здесь нижний предел суммирования для общности взят равным - ∞.
Пусть
На основании свойства дискретной свертки можно записать:
(41)
где
Здесь входная последовательность представлена N отсчетами.
Для дискретной линейной системы, инвариантной к сдвигу, входная x(n) и выходная y(n) последовательности связаны разностным уравнением:
(42)
Иначе это можно записать в виде равенства:
(43)
Если от (42) найти Z-преобразование, то получим равенство:
(44)
с учетом (41)
(45)
Таким образом Z-преобразование дискретной импульсной характеристики ЛДС представляет отношение полиномов относительной переменной Z-1, коэффициенты которых совпадают с коэффициентами разностного уравнения.
(46)
Если в разностном уравнении (43) положить коэффициент b0 равным 1, то разностному уравнению:
(47)
Будет соответствовать Z-преобразование функции передачи линейной дискретной системы:
(48)
Структурная схема лдс
На основании свойств линейности и задержки во времени для Z-преобразования можно составить несколько разновидностей структурных схем ЛДС. В уравнении (47) задержке на один такт соответствует умножение Z-преобразования на Z-1:
(49)
Таким образом Z-преобразование разностного уравнения (47) будет иметь вид:
(50)
В соответствии с (47) и (50) можно получить следующие структурные схемы ЛДС:
В
торая
структурная схема может быть получена
из структурной схемы (рисунок 1) на
основании свойства линейности, если
поменять местами нерекурсивную и
рекурсивную часть:
y1
(n)
Рисунок 2 – Структурная схема ЛДС
Убедимся, что структурные схемы (рисунок 1) и (рисунок 2) эквивалентны. Для структурной схемы (рисунок 1) из (48) можно записать:
(51)
Для рекурсивной части структурной схемы (рисунок 2) справедливо равенство:
(52)
Следовательно:
(53)
Для нерекурсивной части имеет место равенство:
или
(54)
Подставим (53) в (54), получим:
Получим равенство (51), следовательно эти схемы действительно эквивалентны.
Таким образом можно сформулировать общее правило для структурной схемы ЛДС:
Рекурсивная ветвь и нерекурсивная ветвь линейной дискретной системы коммутативны (перестановочны).
Исходя из этого можно получить другие разновидности структурных схем ЛДС [1]:
Каноническую реализацию (рисунок 2), транспонированную реализацию ЛДС, транспонированную реализацию, полученную из канонической, параллельную реализацию и т.д.