5.1.3. Переходной процесс в режиме затухающих колебаний

Характер протекания переходного процесса зависит от значения коэффициента демпфирования  = /₀, который является функцией параметров цепи. Из выражений (45) следует, что при R₁ = R₂

(49)

где .

При неизменных значениях L- и С-параметров и R₁ = R₂ режим переходного процесса можно изменить за счет R₁ и R₃. Например, для получения критического режима  = 1 необходимо, чтобы R₃ = 0,1 и R₁ = R₂ = 0,816.

Определим условие существования колебательного режима, рассматривая качественную картину переходного процесса.

Из схемы цепи для свободных составляющих (см. рис.11) следует, что для усиления процесса обмена энергией между накопительными элементами необходимо снижать потери энергии в шунтирующих резисторах и . В предельном случае холостого хода и питания от источника тока вторичные параметры цепи

; ; .

При собственные числа становятся мнимыми: , затухание отсутствует , в цепи устанавливается режим незатухающих колебаний. Реактивные сопротивления и равны по модулю и совпадают с характеристическим сопротивлением контура .

Свойства двухполюсников и определяются свойствами накопительных элементов, если и , например, . Для новых значений параметров резисторов ( , ) вторичные параметры цепи ; ; . В этом случае корни характеристического уравнения (39) комплексно-сопряженные

.

Установившиеся реакции i_Ly и u_Cy и значения производных и в мо­мент находятся из схем замещения (см. рис.13, 14): , , , .

Комплексно-сопряженные постоянные интегрирования , и , вычисляем по формуле (44):

, U_1,2 =  j0,1.

Переходные характеристики цепи относительно и принимают вид

(50)

где ; ; – период собственных колебаний.

Длительность переходного процесса определяется постоян­ной времени

; .

Из графиков и (рис.16) следует, что время соответствует примерно двум периодам свободных колебаний, логарифмический декремент затухания .

5.2. Импульсная характеристика

Во временной области описания систем импульсная характеристика h(t) обычно определяется дифференцированием переходной характеристики h₁(t)

. (51)

В частотной области характеристика h(t) находится как оригинал операторной функции цепи H(s) или с помощью обратного преобразования Фурье частотной характеристики H(j).

Рассмотрим непосредственное определение h(t), как это было сделано при определении переходной характеристики h₁(t).

Особенности вычисления h(t) обусловлены свойствами дельта-функции: . Определим сначала импульсные характеристики L, C, R-элементов, разделяя моменты времени t = 0_–, t = 0 и t = 0₊.

Импульсный ток i_C = δ(t) вызывает в емкости ступенчатое нарастание напряжения

. (52)

При действии импульсного тока нарушается свойство непрерывности заряда на емкости, которое выполняется для токов конечной амплитуды.

Импульсное напряжение u_L = δ(t), приложенное к индуктивности, приводит к мгновенному установлению тока

. (53)

В этом случае нарушается свойство непрерывности тока и потокосцепления, характерное для конечных значений напряжения.

На резисторе формы тока и напряжения совпадают: u = Rδ(t), i = Gδ(t).

Импульсная характеристика является по определению реакцией при нулевом состоянии цепи ( ). С другой стороны, в момент входной сигнал отсутствует . Тогда при t > 0 характеристика h(t) может рассматриваться как реакция при нулевом воздействии. Разрешение этого противоречия состоит в том, что импульс мгновенно устанавливает ненулевое состояние, которое и определяет свободный режим цепи при t > 0.

В соответствии с приведенными соотношениями расчет h(t) сводится к определению импульсных токов i_C(0) и напряжений u_L(0) в момент t = 0 при замене емкости элементом КЗ, индуктивности – разрывом с последующим вычислением значений и по формулам (52), (53). Дальнейшая схема расчета не отличается от традиционной: составляют характеристическое уравнение, находят собственные числа цепи, рассчитывают начальные значения свободных составляющих.

Определим импульсные характеристики цепи , , , с источником тока i₀ = δ(t) (рис.17). Равновесие токов и напряжений в цепи определяется законами Кирхгофа:

Учитывая компонентные уравнения L, C, R-элементов и значения их параметров, запишем уравнение состояния

.

Для получения характеристического уравнения найдем входную проводимость Y(p) относительно узлов подключения элементов и С:

.

Решение Y(p) = 0 дает собственные числа

В момент t = 0 ток i₀ замыкается через резистор R₁: . Зависимые начальные условия , определяются из уравнений состояния или схемы замещения, в которой индуктивность заменена источником тока , емкость – элементом КЗ ( = 0):

.

Постоянные интегрирования находят из уравнений

Используя решения системы, запишем искомые характеристики

Из приведенных формул следует, что законы Кирхгофа выполняются для любого момента времени.

Определение импульсных характеристик в цепи с источником напряжения рассмотрим на примере четырехполюсника (см. рис.1) с параметрами, обеспечивающими апериодический характер переходного процесса р₁ = –0,45, р₂ = –3,35.

В соответствии со схемой замещения для момента t = 0 (рис.18, а) напряжение u₁ = (t) вызывает в емкости ток . К индуктивности в этот момент приложено напряжение .

Зарядный ток вызывает на емкости конечное напряжение , напряжение – конечное значение тока

; .

Значения производных и находим из уравнений (12) при u₁(0₊) = 0

.

Аналогичный результат можно получить, если ток i_C(0₊) и напряжение u_L(0₊) найти из резистивной схемы замещения для момента t = 0₊ (рис.18, б).

Амплитуды свободных составляющих находим из начальных условий в момент t = 0₊

Решение этих уравнений при p₁ = –0,45, p₂ = –3,35 позволяет записать импульсные характеристики

. (54)

Входную характеристику найдем по формуле (13)

. (55)

Первое слагаемое учитывает импульсный зарядный ток .

Из графиков импульсных характеристик (рис.19) следует, что в начальный момент времени C- элемент отдает энергию, так как мгновенная мощность . Эта энергия частично рассеивается на резисторах и частично потребляется L-элементом . После изменения знака C-элемент накапливает энергию , а L-элемент отдает энергию в цепь.