6.3. Приближенное определение импульсной

характеристики

Сигнал в виде дельта-функции , используемый для определения импульсной характеристики , является математическим понятием из раздела обобщенных функций и не может быть реализован физически, так же как и другой сигнал в виде единичной ступенчатой функции , используемый для определения переходной характеристики .Однако, если учесть, что площадь дельта- функции равна единице, то в качестве приближенного представления функции δ(t) можно принять короткий импульс единичной площади длительностью . Рассмотрим способ приближенного определения импульсной характеристики при конечной амплитуде и конечной длительности импульсного сигнала .

В соответствии с выражением для интеграла свертки (61) реакция цепи на непрерывный импульс в области определяется формулой

.

Применяя теорему о среднем, при малом значении длительного импульса получим

где А – площадь импульса.

Эта формула показывает, что при импульсе малой длительности выходная реакция зависит от площади импульса А, а не от его формы . Отсюда следует, что импульсная характеристика приближенно может быть найдена путем деления реакции на площадь короткого импульса А:

; ; . (65)

Покажем справедливость формулы (65) на конкретном примере. Рассмотрим прохождение прямоугольного импульса u₁(t) через последовательную RC-цепь, в которой выходным напряжением является напряжение C-элемента.

Переходная и импульсная характеристики выражаются через затухающие экспоненты

; ,

где – постоянная времени.

В соответствии с интегралом Дюамеля находим реакцию на прямоугольный импульс

В области реакция зависит от соотношения между длительностью импульса и постоянной времени цепи . Если , то в разложении экспоненты в ряд можно пренебречь слагаемыми высшего порядка и записать

.

Тогда при

.

Если выходной сигнал разделить на площадь импульса и пренебречь величиной , то получим импульсную характеристику с относительной погрешностью 

.

Это соотношение справедливо для импульса произвольной формы. Таким образом, для получения импульсной характеристики цепи необходимо зафиксировать реакцию на короткий импульс и затем изменить ее масштаб в соответствии с формулой (65).

Произведем оценку выходной импульсной характеристики рассматриваемого четырехполюсника аналитически и с помощью средств компьютерного моделирования Simulink MATLAB (рис.29).

Четырехполюсник моделируется блоком переменных состояния State Space, в который вводятся значения матриц А, В, С, D (20). Точное значение h(t) определяется дифференцированием переходной характеристики h₁(t) с помощью блока Derivative. Для оценки импульсной характеристики используется масштабированная реакция u_2S(t) на прямоугольный импульс амплитудой U_m. Длительность импульса t_и варьируется с помощью звена запаздывания. Изменение масштаба реакции осуществляется с помощью усилителя Gain: , где .

Аналитическая оценка импульсной характеристики производится в соответствии с выражением (65) по формуле

,

где h₁(t) – переходная характеристика четырехполюсника, определяемого по формуле (46).

Точное значение импульсной характеристики вычисляется по формуле (54).

Сравнение графика импульсной реакции h(t) с графиками сигналов (рис.30) при различной длительности показывает, что при , где – наименьшая постоянная времени, реакция в области практически совпадает с импульсной характеристикой .

Наблюдать импульсные процессы сложно. Поэтому для экспериментального определения импульсной характеристики используют последовательность коротких импульсов. Период повторения импульсных сигналов должен обеспечивать затухание свободных колебаний к моменту поступления в цепь очередного импульса.

Рекомендательный библиографический список

1. Бычков Ю.А. Основы теории электрических цепей / Ю.А.Бычков, В.М.Золотницкий, Э.П.Чернышев. СПб: Лань, 2004.

2. Демирчян К.С. Моделирование и машинный расчет электрических цепей / К.С.Демирчян, П.А.Бутырин. М.: Высшая школа, 1981.

3. Кирьянов Д.В. MathCAD 2001. СПб: БХВ – Петербург, 2002.

4. Калащук В.И. Электронная лаборатория на IBM PC. Программа Electronics Workbench и ее применение. М.: Слон – Р, 2001.

5. Лазарев Ю.Ф. MATLAB 5.X. Киев: Ирина, BHV, 2000.

6. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи. М.: Высшая школа, 1981.

7. Сиберт У.М. Цепи. Сигналы. Системы. М.: Мир, 1988.

8. Теоретические основы электротехники / К.С.Демирчян, Л.Р.Нейман, Н.В.Коровкин, В.К.Чечурин. СПб: Питер, 2004.

Содержание

Введение          3

1. Дифференциальные уравнения состояния электрических цепей          5

1.1. Общие сведения о методе переменных состояния          5

1.2. Способы составления уравнений состояния          6

1.3. Особенности формирования уравнений состояния в индуктивно-связанных цепях        11

2. Подобие электрических цепей        14

2.1. Нормирование параметров        14

2.2. Дуальные цепи        15

3. Разностные уравнения цепей        16

3.1. Алгоритмы численного интегрирования уравнений состояния        16

3.2. Дискретные схемы замещения        19

4. Методы решения динамических уравнений и способы их представления        22

4.1. Виды стандартных сигналов        22

4.2. Способы представления решения уравнений состояния        25

4.3. Решение уравнений состояния с помощью матричных экспонент        27

4.4. Структурные схемы решения уравнений состояния        29

4.5. Особенности расчета переходных процессов классическим методом        31

5. Классический метод определения реакций цепи на стандартные сигналы        34

5.1. Переходные характеристики        34

5.1.1. Решение системы уравнений состояния        34

5.1.2. Определение переходных характеристик по схемам замещения        36

5.1.3. Переходной процесс в режиме затухающих колебаний        39

5.2. Импульсная характеристика        41

5.3. Реакция четырехполюсника на линейное напряжение        46

5.4. Реакции на гармонический сигнал. Биения        47

6. Интегралы наложения        52

6.1. Способы аппроксимации сигналов и реакций        52

6.2. Определение реакций на импульсные сигналы        54

6.3. Приближенное определение импульсной характеристики        59

Рекомендательный библиографический список        63

73