Согласно рис. 2 имеем: . Следовательно,

. (3)

Так как возмущения от всех полосок когерентны, то нахождение результирующей амплитуды в произвольной точке Р_j экрана сводится к решению задачи интерференции, т.е. сложению влияний всех полосок с учетом амплитуды и фазы. Проинтегрируем (3) по всей ширине щели (т.е. от 0 до а):

. (4)

(4) - это выражение результирующего возмущения в точке Р_j с амплитудой:

. (5)

Так как интенсивность есть величина прямо пропорциональная квадрату амплитуды, то распределение интенсивности на экране в зависимости от угла дифракции имеет вид:

, (6)

здесь I_o - интенсивность света, идущего от всей щели в направлении j = 0, т.е. в направлении первичного пучка. То есть, освещенность на экране меняется, принимая максимальные и минимальные значения.

Обозначим , отсюда для распределения интенсивности света получим:

. (7)

На рис.3 представлены графики функций (пунктирная кривая) и (сплошная кривая). Обе эти функции обращаются в максимум, равный единице, при a = 0. При a = mp, где m=±1; ±2 они равны нулю, т. е. в этих точках наблюдаются минимумы интенсивности. Между двумя соседними минимумами располагаются максимумы различных порядков. Их положение определяются трансцендентным уравнением a×cosa - sina=0. Практически, можно считать, что максимумы располагаются посредине между соседними минимумами.

3.Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке

Дифракционной решеткой называется совокупность большого числа одинаковых, отстоящих друг от друга на одно и тоже расстояние щелей (рис.4). Расстояние d между серединами соседних щелей называется периодом решетки .

Расположим параллельно решетке собирающую линзу, в фокальной плоскости которой поместим экран. Выясним характер дифракционной картины, которая получается на экране при нормальном падении на решетку плоской световой волны. Каждая из щелей (рис.4) даст на экране картину, описываемую сложной кривой, изображенной на рис.3. Картины от всех щелей придутся на одно и тоже место экрана. При этом, независимо от положения щели, центральный максимум лежит против центра линзы. Колебания от различных щелей является в большей или меньшей степени когерентными, поэтому результирующая интенсивность будет отличаться от NI_j

(где I_j - интенсивность создаваемая одной щелью, N - число щелей). Тогда результирующее колебание в некоторой точке Р, положение которой определяется углом дифракции j, представляет собой сумму N колебаний с одинаковой амплитудой, сдвинутых друг относительно друга по фазе на одну и ту же величину d.

Интенсивность результирующего колебания при этом выражается формулой:

. (8)

Из рис.4 видно, что разность хода от соседних щелей равна: D=d sin j, следовательно разность фаз:

. (9)

Подставим теперь в формулу (8) значение для I_j и учтем формулу (9):

, (10)

где I_o - интенсивность в направлении падающей волны.

Первый множитель в формуле (10) обращается в нуль в точках экрана, для которых выполняется условие:

a sinj = n l (n = 1, 2, 3,...). (11)

В этих точках, интенсивность, создаваемая каждой из щелей в отдельности, равна нулю. Поэтому условие (11) определяет положение минимумов интенсивности дифракционной картины.

Второй множитель в формуле (10) принимает значение N² в точках, удовлетворяющих условию:

d sinj =m ( m = 0, 1, 2...). (12)

Для направлений, определяемых этим условием, колебания от отдельных щелей взаимно усиливают друг от друга. Поэтому условие (12) определяет положения максимумов интенсивности называемых главными. Число m дает порядок главного максимума. Максимум нулевого порядка только один, максимумов 1-го, 2-го и т. д. порядков имеется по два.

Интенсивность главных максимумов I_max в N² раз больше интенсивности I_j, создаваемой в направлении j одной щелью. То есть:

I_max = N²I_ (13)

Кроме минимумов, определяемых условием (11), в промежутках между соседними главными максимумами имеется (N-1) добавочных минимумов. Эти минимумы возникают в тех направлениях, для которых колебания от отдельных щелей взаимно погашают друг друга. Направления добавочных минимумов определяются условием:

, (14)

где k=1,2,…,N-1,N+1,…,2N-1,2N+1,…

В этой формуле k принимает все целочисленные значения, кроме тех что кратны N.

Между дополнительными минимумами располагаются слабые вторичные максимумы. Число таких максимумов, приходящееся на промежуток между соседними главными максимумами равно N-2. На рис.5 схематически представлено распределение интенсивности в дифрагированном свете для случая когда число щелей N=4, (т.е. это график функции (10)). Пунктирная кривая, проходящая через вершины главных максимумов, изображает интенсивность от одной щели, умноженную на N². При взятом на рис.5 отношении периода решетки к ширине щели ( = 3) главные максимумы 3-го, 6-го и т. д. порядков приходятся на минимумы интенсивности от одной щели, вследствие чего эти максимумы пропадают.

. 4. Дифракционная решетка как спектральный прибор

Дифракционная решетка - важнейший спектральный прибор, предназначенный для разложения света в спектр и измерения длин волн. Она представляет собой плоскую стеклянную или металлическую поверхность. на которой делительной машиной нарезано очень много (до сотни тысяч) прямых равноотстоящих штрихов. На стеклянных решетках наблюдения можно производить как в проходящем, так и в отраженном свете, на металлических - только в отраженном. Применяются вогнутые металлические решетки, на которых штрихи наносятся на вогнутую сферическую поверхность.

Произведение Nd дает длину дифракционной решетки.

Положение главных максимумов зависит от длины волны l. Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального, разложатся в спектр, фиолетовый конец которого обращен к центру дифракционной решетки, красный - наружу. Таким образом дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор. В то время как стеклянная призма сильнее всего отклоняет фиолетовые лучи, дифракционная решетка, напротив, сильнее отклоняет красные лучи. На рис.6 схематически изображены спектры разных порядков, даваемые решеткой при пропускании через нее белого света. В центре лежит узкий максимум нулевого порядка, у него окрашены только края. По обе стороны от центрального максимума расположены два спектра 1-го порядка, затем два спектра 2-го порядка и т.д.

Основными характеристиками всякого спектрального прибора являются дисперсия и разрешающая сила. Дисперсия определяет угловое или линейное расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу (например, на 1A°). Разрешающая сила определяет минимальную разность длин волн dl, при которой две линии воспринимаются в спектре раздельно.

Угловой дисперсией называется величина:

, (15)

где dj - угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на

dl.

Продифференцируем условие (12) для главного максимума слева по j, а справа по l:

d cosj dj=m dl,

отсюда:

. (16)

В пределах небольших углов cosj»1, следовательно:

. (17)

Значит, угловая дисперсия обратно пропорциональна периоду решетки d. Кроме того, чем выше порядок спектра m, тем больше дисперсия.

Линейной дисперсией называют величину:

, (18)

где dl- линейное расстояние на экране или на фотопластинке между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на dl.

Линейная дисперсия связана с угловой дисперсией D следующим соотношением:

, (19)

где f - фокусное расстояние линзы, собирающей дифрагирующие лучи на экране.

Учитывая выражение (17), получим:

. (20)

Разрешающей силой спектрального прибора называют безразмерную величину:

, (21)

где dl - минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются раздельно.

Возможность разрешения (т.е. раздельного восприятия) двух близких спектральных линий зависит не только от расстояния между ними (которое определяется дисперсией прибора), но также от ширины спектрального максимума. Два близких максимума воспринимаются раздельно в том случае, если интенсивность в промежутке между ними составляет не более 80% от интенсивности максимума. Согласно критерию Рэлея, такое соотношение интенсивностей имеет место тогда, когда середина одного максимума совпадает с краем другого (рис.7). В случае (рис. 7.а) оба максимума воспринимаются как один, а в случае (рис. 7.б) два близких максимума воспринимаются раздельно. Такое взаимное расположение максимумов получается при определенном (для данного прибора) значении dl.

Кроме того, разрешающую силу дифракционной решетки можно выразить еще такой формулой:

R=m N. (22)

Согласно формуле (22), разрешающая сила дифракционной решетки пропорциональна порядку спектра m и числу щелей N.