2.3.2 Метод пространственной выборки

Менее распространен, чем метод временных рядов. Построе­ние модели начинается с оценки чувствительности ценных бумаг к определенным фак­торам. Затем для некоторого периода времени оцениваются значения этих факторов на основе анализа доходностей ценных бумаг и их чувствительности к факторам. Этот процесс повторяется для большого числа временных интервалов, что позволяет дать оценки для стандартных отклонений факторов и их корреляций.

Однофакторные модели

В методe пространственных выборок используются данные по различным типам акций для одного момента времени, в то время как для временных рядов строят модель по одному типу акций для различных моментов времени.

На рисунке приведен гипотетический пример связи между доходностями акций нескольких типов за определенный период времени и одним из атрибутов ценных бу­маг - ставкой дивиденда – для каждого типа акций. Каждая точка относится к одному определенному типу акций, показывая их доходность и ставку дивиденда в рассматри­ваемом временном интервале. В этом примере акции с более высокой ставкой диви­денда имеют тенденцию к более высокой доходности, чем акции с низкой ставкой дивиденда.

Уравнение для прямой имеет вид: где rit - ожидаемая доходность акций типа i в период t при условии, что фактическое значение фактора равнялось Ft: at — нулевой фактор в период t; bit – ставка дивидендов акций типа i в период t; Ft – фактическое значение фактора в период t. Наклон, равный Ft, соответствует приросту ожидаемой доходности на каждый процент ставки дивиденда. Поэтому он представляет собой фактическое значение фактора ставки дивиденда (F) в рассматриваемом временном интервале.

Метод пространственной выборки использует чувст­вительности для оценки значений факторов. Поэтому такие факторы называются эм­пирическими. В методе временных рядов, напротив, известные значения факторов используются для получения оценок чувствительности ценных бумаг. Такие факторы называются фундаментальными.

2.3.3 Факторный анализ

В рамках факторно-аналитического метода построения факторной модели неизвестны ни значения факторов, ни чувствительности ценных бумаг к этим факторам. Для опре­деления числа факторов и чувствительностей к данным о доходностях ценных бумаг в прошлом просто применяется статистический метод, называемый факторным анализом. При использовании этого метода доходности некоторой выборки цен­ных бумаг рассматриваются за большое число временных периодов в целях установле­ния одного или нескольких статистически значимых факторов, которые могли бы при­вести к ковариации доходностей, наблюдаемых в этой выборке.

Ограничения

1) Риски и доходности, связанные с разными факторами, а также чувствительности ценных бумаг к факторам могут меняться с тече­нием времени.

2) Факторная модель не является равновесной моделью форми­рования цен на финансовые активы. Сравним, например, ожидаемую доходность ак­ций согласно однофакторной модели с ожидаемой доходностью в модели САРМ:

Оба уравнения показывают, что ожидаемая доходность акций связана с некоторой характеристикой этих акций, b_i или _i. Если обе величины изменяются в одном направлении, то они одинаково влияют на ожидаемую доходность ценных бумаг, поэтому между формулами ожидаемой доходности не видно заметных различий.

В этом отношении ключевым является другой член правой части каждого из ра­венств: a_i и r_f. Значение r_f.в САРМ одинаково для всех видов акций. В факторной модели величина a_i меняется от одного типа акций к другому, поэтому модель не равновесная.

Если равновесие имеет место, то факторная модель и САРМ связаны следующими соотношениями. Пусть фактические доходности генерируются однофакторной моделью, в которой фактор F является доходностью рыночного портфеля r_М, тогда ожидаемые доходности будут равны (так как ):

Перепишем уравнение в виде (сгруппируем множители r_f):

Отсюда видно, что параметры однофакторной модели и модели САРМ должны быть связаны между собой следующим образом:

,

.

Задачи.

1. Рассмотрим в рамках однофакторной модели ценную бумагу со значением нулевого фактора 4% и чувствительностью к фактору, равной 0,50. Пусть значение фактора равно 10%. При этом доходность ценной бумаги составляет 11%. Какая часть доходности связана с нефакторными элементами?

Решение. r_t = a + bF_t + e_t= 4+0,510 + e_t=11, откуда e_t=2. 2/11=0,18 или 18%.

2. В рамках однофакторной модели рассмотрим портфель из двух ценных бумаг со следующими характеристиками:

Ценная бумага	Чувствительность	Нефакторный риск ( )	Доля
А	0,2	49	0,40
В	3,5	100	0,60

А) Если стандартное отклонение фактора равно 15%, то чему равен факторный риск портфеля? Найти нефакторный риск портфеля и стандартное отклонение портфеля.

Б) Ответьте на вопросы пункта А, предположив, что часть портфеля инвестирована в безрисковый актив и что доля инвестирования в безрисковую ценную бумагу равна 0,1; в А – 0,36; в В – 0,54.

Решение. Воспользуемся формулой

А) Факторный риск портфеля =(0,20,4+3,50,6)²15²=4,7524225=1069,29.

Нефакторный риск портфеля: =(0,4)²49+(0,6)²100=43,84.

Стандартное отклонение портфеля: _Р= =33,36.

Б) =(0,20,36+3,50,54)²15²=866,12; =(0,36)²49+(0,54)²100=35,51;. _Р=30,03.

3. В рамках однофакторной модели ценная бумага А имеет чувствительность -0,50, а чувствительность ценной бумаги В равна 1,25. Если ковариация между этими ценными бумагами равна -312,50, то чему равно стандартное отклонение для фактора?

Решение. Ковариация ценных бумаг i и j равняется: , откуда =312,5/(1,250,5)=500, =22,36.

4. В рамках однофакторной модели для двух ценных бумаг А и В имеют место соот­ношения:

r_A = 5% + 0,8F+ е_А, r_B =7%+ 1,2F + е_B;

_F = 18%; _eA = 25%; _eB = 15%.

Вычислите стандартное отклонение для каждой ценной бумаги.

Решение.

=(0,818)²+25²=832,36, =28,85.

=(1,218)²+15²=691,56, =26,3.

5. Если средний нефакторный риск ( ) всех ценных бумаг в однофакторной модели равняется 225, то каков нефакторный риск портфеля, который включает 10, 100 или 1000 ценных бумаг с равным весом?

Решение. , откуда ответ: 22,5; 2,25; 0,225.

6. В рамках трехфакторной модели рассмотрим портфель, состоящий из трех ценных бумаг со следующими характеристиками:

Ценная бумага	Чувствительность к фактору 1	Чувствительность к фактору 2	Чувствительность к фактору 3	Доля
А	0,2	3,6	0,05	0,6
В	0,5	10	0,75	0,2
С	1,5	2,2	0,3	0,2

Каковы чувствительности портфеля к факторам 1, 2 и 3?

Решение. К фактору 1 - =0,60,2+0,2(0,5+1,5)=0,52;

к фактору 2 - 0,63,6+0,2(10+2,2)=4,6;

к фактору 3 - 0,60,05+0,2(0,75+0,3)=0,24.

7. Портфель содержит два вида ценных бумаг. В рамках двухфакторной модели эти ценные бумаги имеют следующие характеристики:

Ценная бумага	Нулевой фактор	Чувствительность к фактору 1	Чувствительность к фактору 2	Нефакторный риск ( )	Доля
А	2	0,3	2	196	0,7
В	3	0,5	1,8	100	0,3

Факторы являются некоррелированными. Фактор 1 имеет ожидаемое значение 15% и стандартное отклонение 20%. Фактор 2 имеет ожидаемое значение 4% и стандарт­ное отклонение 5%. Вычислите ожидаемое значение и стандартное отклонение для портфеля.

Решение.

r_A = 2+0,315+24=14,5, r_B = 3+0,515+1,84=17,7,

r_P = 0,714,5+0,317,7=15,46.

, так как =0,

то =(0,320)²+(25)²+196=332, =(0,520)²+(1,85)²+100=281,

=0,30,5400+21,825=60+90=150

=250,97=15,8².

8. Рассмотрим факторную модель, в которой двумя факторами являются отношение до­хода к цене и отношение балансовой стоимости к рыночной цене. Для акций вида А первое отношение равно 10%, а второе 2. Для акций вида В эти показатели равны соответственно 15% и 0,90. Нулевые факторы для акций А и В равны 7 и 9% соответственно. Чему равны ожидаемые значения указанных факторов, если ожидае­мые доходности для акций А и В равны 18 и 16,5% соответственно?

Решение.

r_A = 7+10F₁+2F₂=18,

r_B = 9+15F₁+0,9F₂=16,5. Решаем эту систему уравнений и ответ: F₁=0,24, F₂=4,29.

9. В рамках двухфакторной модели рассмотрим два типа ценных бумаг со следующи­ми характеристиками:

Ценная бумага	Чувствительность к фактору 1	Чувствительность к фактору 2	Нефакторный риск ( )
А	1,5	2,6	25
В	0,7	1,2	16

Стандартные отклонения факторов 1 и 2 равны 20 и 15% соответственно, а ковариация факторов равна 225. Каковы стандартные отклонения для ценных бумаг А и В? Чему равна их ковариация?

Решение.

=(1,520)²+(2,615)²+21,52,6225+25=900+1521+1755+25=4201=64,82².

=(0,720)²+(1,215)²+20,71,2225+16=196+324+378+16=914=30,23².

=1,50,7400+2,61,2225+(1,51,2+2,60,7)225=420+702+814,5=1936,5.